فرض میکنیم $ I \subseteq R $ یک ایده آل چپ دلخواه باشد و فرض کنید که
$f:I \rightarrow J $ یک $R $ همریختی باشد.
لذا نمودار جابجایی زیر با سطرهای دقیق را داریم.
$$\require{AMScd}\begin{CD} 0@>>>I @>j>> R@>>> \frac{R}{I} @>>>0\\\ @VfVV @V f' VV @VIdVV\\0@>>>J @> \alpha >> B@>>> \frac{R}{I} @>>>0\\\end{CD}$$
از آنجایی که $ \frac{R}{I} $ دوری است لذا طبق فرض مساله سطر دقیق پایین شکافته می شود پس نگاشت $ \alpha ^{'}:B \rightarrow J$ موجود است که $ \alpha ^{'} \alpha =Id $. تعریف میکنیم $ g:R \rightarrow J $ که $g= \alpha ^{'} f' $ آنگاه به سادگی $ gj=f $ لذا طبق قضیه بئر، $ J $ انژکتیو خواهد بود
اثبات بالا برگرفته از کتاب $ Introduction \ to \ Homological \ Algebra$ اثر $Joseph \ J. Rotman$ است.
