اگر$0 \rightarrow J\rightarrow B\rightarrow C \rightarrow 0$که در آن $c$ مدول دوری است شکافته شود آنگاه$J$انژکتیو است.

Question

فرض کنید $J$ یک $R$مدول باشدو رشته دقیق کوتاه $0 \longrightarrow J \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0$که در ان $c$ یک$R$ مدول دوری است شکافته شودثابت کنید $J$ انژکتیو است.

Comments

به ازای هر $R$ مدول $B$و$C$ که $C$ دوری باشد شکافته می شود یا برای فقط یک $B$ ویک$C$ دوری؟

Answer 1

فرض میکنیم $ I \subseteq R $ یک ایده آل چپ دلخواه باشد و فرض کنید که $f:I \rightarrow J $ یک $R $ همریختی باشد. لذا نمودار جابجایی زیر با سطرهای دقیق را داریم.

$$\require{AMScd}\begin{CD} 0@>>>I @>j>> R@>>> \frac{R}{I} @>>>0\\\ @VfVV @V f' VV @VIdVV\\0@>>>J @> \alpha >> B@>>> \frac{R}{I} @>>>0\\\end{CD}$$

از آنجایی که $ \frac{R}{I} $ دوری است لذا طبق فرض مساله سطر دقیق پایین شکافته می شود پس نگاشت $ \alpha ^{'}:B \rightarrow J$ موجود است که $ \alpha ^{'} \alpha =Id $. تعریف میکنیم $ g:R \rightarrow J $ که $g= \alpha ^{'} f' $ آنگاه به سادگی $ gj=f $ لذا طبق قضیه بئر، $ J $ انژکتیو خواهد بود

اثبات بالا برگرفته از کتاب $ Introduction \ to \ Homological \ Algebra$ اثر $Joseph \ J. Rotman$ است.