$\mathbb Q$به عنوان$\mathbb Z$مدول دارای زیر مدول ماکسیمالی مانند$H$باشد آنگاه$ \frac{Q}{H}$ یک $\mathbb Z$مدول دوری است

Question

فرض کنید $\mathbb Q$به عنوان$\mathbb Z$مدول دارای زیر مدول ماکسیمالی مانند $ H $ باشد ثابت کنید $ \frac{\mathbb Q}{H} $ یک $\mathbb Z$مدول ساده و دوری است

Answer 1

$ \frac{\mathbb Q}{H} $ یک $ \mathbb Z $مدولی ساده و غیر صفر است.عنصر دلخواه $x $ را در نظر میگیریم $\mathbb Zx $ یک زیر مدول غیر صفری از $ \frac{\mathbb Q}{H} $ است اما چون $ \frac{\mathbb Q}{H} $ ساده است پس $ \frac{\mathbb Q}{H} =\mathbb Zx $ لذا دوری است.