Question

ثابت کنید اگر $M$ یک $\mathbb{Z}$ مدول آزاد باشد آنگاه هر زیر مدول آن نیز آزاد است.

Answer 1

قضیهٔ ۹.۸ در کتاب Advanced Modern Algebra از Joseph Rotman را نگاه کنید. در آنجا ثابت می‌کند که اگر حلقهٔ اسکالرهای مدول آزادتان یک دامنهٔ ایده‌آل‌های اصلی باشد، آنگاه هر زیرمدول آن نیز مدولی آزاد می‌شود. در پرسش شما نیز $\mathbb{Z}$ یک دامنهٔ ایده‌آل‌های اصلی است. اثبات آمده‌شده‌ در آنجا ابتدایی است، اما برای ساده‌تر شدن کار شما چون با اعداد صحیح کار می‌کنید و می‌دانید که مجموعهٔ اعداد صحیح (و در نتیجه هر زیرمجموعه‌ای از آن) با رابطهٔ کوچکتری معمولی اعداد یک مجموعهٔ مرتب‌کامل است پس نیازی نیست از لمی که گفته‌است استفاده کنید و ترتیبی را که برمی‌دارد همان ترتیب کوچکتری معمولی اعداد بردارید.