به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
240 بازدید
در دانشگاه توسط sina soheyli (31 امتیاز)
برچسب گذاری دوباره توسط erfanm

‎$\partial_{i}(e_{\sigma}):=\displaystyle \sum_{j\in\sigma }{\rm sign}(j,\sigma)e_{\sigma_{\setminus j}}.$‎

و همچنین این قسمت رو متوجه نمیشم که جهت‌ها رو از روی شکل چه طوری مشخص کرده؟

همان طور که از تصویر مشاهده می‌شود، برای وجه ‎${\lbrace 1,2,3\rbrace} $‎ خواهیم داشت:

‎$ \partial(e_{\lbrace 1,2,3\rbrace})=e_{\lbrace2,3\rbrace}-e_{\lbrace1,3\rbrace}+e_{\lbrace1,2\rbrace}‎ .‎$‎ ‎

مرجع: Homology of Simplicial Complexes PCMI Undergraduate Faculty Program 2004
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
همون منبعی که فرمودید رو دیدم هم کامل توضیح داده شده هم مثالی رو هم بیان کرده است. لطفا بفرمایید کجای تعریف رو خوب متوجه نمیشید تا اون قسمت رو توضیح بدم.
توسط sina soheyli (31 امتیاز)
‎$\partial_{i}(e_{\sigma}):=\displaystyle \sum_{j\in\sigma }{\rm sign}(j,\sigma)e_{\sigma_{\setminus j}}.$‎

و همچنین این قسمت رو متوجه نمیشم که جهت‌ها رو  از روی شکل چه طوری مشخص کرده؟
 
همان طور که از تصویر مشاهده می‌شود، برای وجه
‎${\lbrace 1,2,3\rbrace} $‎
خواهیم داشت:

‎$ \partial(e_{\lbrace 1,2,3\rbrace})=e_{\lbrace2,3\rbrace}-e_{\lbrace1,3\rbrace}+e_{\lbrace1,2\rbrace}‎ .‎$‎

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm

با یک مثال فرمول رو توضیح میدهم: فرض کنید $ \sigma=\{1,4,3,5\} \in \triangle $ لذا می خواهیم تاثیر$\partial_{i} $ را بر پایه ی $ e_{ \sigma} $ بیان کنیم. ابتدا عناصر را مرتب میکنیم یعنی مینویسیم: $ \sigma=\{1,3,4,5\} \in \triangle $ و چون طبق تعریف عناصر پایه ی مجموعه ی برد برابر $ e_{ \gamma } $ است که تعداد عناصر آن یکی کمتر از تعداد عناصر $ \sigma$ است لذا هر بار یکی از عناصر را حذف میکنیم تا عضوی از پایه ی مجموعه ی برد بدست آید

پس ابتدا $1$ را حذف میکنیم تا $ \sigma \setminus \{1\}= \{3,4,5\}$ بدست آید و چون 1 اولین عنصر $ \sigma $ بود لذا ${\rm sign}(j,\sigma)=(-1)^{1-1}=1$ (چون $ i=1 $ و $ {\rm sign}(j,\sigma)=(-1)^{i-1}$) پس $+e_{ 3,4,5} $ را داریم حال $3$ را حذف میکنیم تا $ \sigma \setminus \{1\}= \{1,4,5\}$ بدست آید و چون $3$دومین عنصر $ \sigma $ بود لذا ${\rm sign}(j,\sigma)=(-1)^{2-1}=-1$ پس $-e_{ 1,4,5} $ را داریم و همین روند را ادامه می دهیم لذا

$$\partial_{i}(e_{\sigma})= e_{ 3,4,5}-e_{ 1,4,5} +e_{ 1,3,5} -e_{ 1,3,4} $$

اما برای جهت در شکل چون در $$\partial(e_{\lbrace 1,2,3\rbrace})=e_{\lbrace2,3\rbrace}-e_{\lbrace1,3\rbrace}+e_{\lbrace1,2\rbrace}‎$$ ضریب $e_{\lbrace2,3\rbrace}$ مثبت است لذا جهت از $2$ به $3$ است اما چون علامت $ e_{\lbrace1,3\rbrace} $ منفی است لذا جهت از $3$ به $1$ است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...