همولوژی سادکی کاهش یافته

Question

‎$\partial_{i}(e_{\sigma}):=\displaystyle \sum_{j\in\sigma }{\rm sign}(j,\sigma)e_{\sigma_{\setminus j}}.$‎

و همچنین این قسمت رو متوجه نمیشم که جهت‌ها رو از روی شکل چه طوری مشخص کرده؟

همان طور که از تصویر مشاهده می‌شود، برای وجه ‎${\lbrace 1,2,3\rbrace} $‎ خواهیم داشت:

‎$ \partial(e_{\lbrace 1,2,3\rbrace})=e_{\lbrace2,3\rbrace}-e_{\lbrace1,3\rbrace}+e_{\lbrace1,2\rbrace}‎ .‎$‎ ‎

Comments

همون منبعی که فرمودید رو دیدم هم کامل توضیح داده شده هم مثالی رو هم بیان کرده است. لطفا بفرمایید کجای تعریف رو خوب متوجه نمیشید تا اون قسمت رو توضیح بدم.

---

‎$\partial_{i}(e_{\sigma}):=\displaystyle \sum_{j\in\sigma }{\rm sign}(j,\sigma)e_{\sigma_{\setminus j}}.$‎

و همچنین این قسمت رو متوجه نمیشم که جهت‌ها رو  از روی شکل چه طوری مشخص کرده؟
 
همان طور که از تصویر مشاهده می‌شود، برای وجه
‎${\lbrace 1,2,3\rbrace} $‎
خواهیم داشت:

‎$ \partial(e_{\lbrace 1,2,3\rbrace})=e_{\lbrace2,3\rbrace}-e_{\lbrace1,3\rbrace}+e_{\lbrace1,2\rbrace}‎ .‎$‎
‎

Answer 1

با یک مثال فرمول رو توضیح میدهم: فرض کنید $ \sigma=\{1,4,3,5\} \in \triangle $ لذا می خواهیم تاثیر$\partial_{i} $ را بر پایه ی $ e_{ \sigma} $ بیان کنیم. ابتدا عناصر را مرتب میکنیم یعنی مینویسیم: $ \sigma=\{1,3,4,5\} \in \triangle $ و چون طبق تعریف عناصر پایه ی مجموعه ی برد برابر $ e_{ \gamma } $ است که تعداد عناصر آن یکی کمتر از تعداد عناصر $ \sigma$ است لذا هر بار یکی از عناصر را حذف میکنیم تا عضوی از پایه ی مجموعه ی برد بدست آید

پس ابتدا $1$ را حذف میکنیم تا $ \sigma \setminus \{1\}= \{3,4,5\}$ بدست آید و چون 1 اولین عنصر $ \sigma $ بود لذا ${\rm sign}(j,\sigma)=(-1)^{1-1}=1$ (چون $ i=1 $ و $ {\rm sign}(j,\sigma)=(-1)^{i-1}$) پس $+e_{ 3,4,5} $ را داریم حال $3$ را حذف میکنیم تا $ \sigma \setminus \{1\}= \{1,4,5\}$ بدست آید و چون $3$دومین عنصر $ \sigma $ بود لذا ${\rm sign}(j,\sigma)=(-1)^{2-1}=-1$ پس $-e_{ 1,4,5} $ را داریم و همین روند را ادامه می دهیم لذا

$$\partial_{i}(e_{\sigma})= e_{ 3,4,5}-e_{ 1,4,5} +e_{ 1,3,5} -e_{ 1,3,4} $$

اما برای جهت در شکل چون در $$\partial(e_{\lbrace 1,2,3\rbrace})=e_{\lbrace2,3\rbrace}-e_{\lbrace1,3\rbrace}+e_{\lbrace1,2\rbrace}‎$$ ضریب $e_{\lbrace2,3\rbrace}$ مثبت است لذا جهت از $2$ به $3$ است اما چون علامت $ e_{\lbrace1,3\rbrace} $ منفی است لذا جهت از $3$ به $1$ است.