با توجه به تعریف ایده آل استنلی رایزنرداریم:
$\Delta=\{ \{1,2\} ,\{2,3\} ,\{3,1\} ,\{3,4\} ,\{4,5\} ,\{5,3\} \} $
لذا داریم:
$$ F_{-1}(\Delta) =\{ \emptyset \}$$
$$ F_{1}(\Delta) = \{ \{1\} ,\{2\} ,\{3\} ,\{4\} ,\{5\} \}$$
$$ F_{2}(\Delta) =\{ \{1,2\} ,\{2,3\} ,\{3,1\} ,\{3,4\} ,\{4,5\} ,\{5,3\} \} $$
اما میدانیم اگر $ f_{i}= \mid F_{i}(\Delta) \mid $ آنگاه همبافت زنجیری جهت دار دلتا در حالت کلی بصورت
$$ 0 \rightarrow K^{ f_{n-1}} \rightarrow ... \rightarrow K^{ f_{2}} \rightarrow K^{ f_{1}} \rightarrow K^{ f_{-1}} \rightarrow 0$$
است لذا در این مثال بصورت زیر است:
$$ 0 \rightarrow K^{ 6} \rightarrow K^{ 5} \rightarrow K^{1} \rightarrow 0$$
که $ \delta _{0} : K^{ 5} \rightarrow K^{1} $ و$ \delta _{1} : K^{ 6} \rightarrow K^{ 5} $ است.
و در آن $ \widetilde{H} _{i}(\Delta,K)= \frac{kernel(\delta _{i})}{Image(\delta _{i+1})} $
طبق گزاره ی $5.1.10 $ در کتبا هرزوگ هیبی داریم:
$$ \widetilde{H} ^{i-2}(\Delta,K) \cong \widetilde{H} _{n-i-1}(\Delta^{ \vee },K) \Rightarrow \widetilde{H} ^{1}(\Delta,K)= \widetilde{H} ^{3-2}(\Delta,K) \cong \widetilde{H} _{5-3-1}(\Delta^{ \vee },K)$$
لذا برای محاسبه ی اولین کوهمولوژی کاهش یافته کافیست اولین همولوژی کاهش یافته البته برای $ \Delta^{ \vee }$ را بدست آوریم پس ابتدا همبافت زنجیری جهت دار دلتا چک را مییابیم.
$$\Delta^{ \vee }=\{ \{2,3,5\} ,\{2,3,4\} ,\{1,3,4\} ,\{4,5\} ,\{1,2\} \} $$
لذا داریم:
$$ F_{-1}(\Delta^{ \vee }) =\{ \emptyset \}$$
$$ F_{1}(\Delta^{ \vee }) = \{ \{1\} ,\{2\} ,\{3\} ,\{4\} ,\{5\} \}$$
$$ F_{2}(\Delta^{ \vee }) =\{ \{1,2\} ,\{2,3\} ,\{3,1\} ,\{3,4\} ,\{4,5\} ,\{5,3\}, \{1,4\} ,\{2,4\} ,\{2,5\} \} $$
$$ F_{3}(\Delta^{ \vee }) =\{ \{2,3,5\} ,\{2,3,4\} ,\{1,3,4\} \} $$
لذا داریم:
$$ 0 \rightarrow K^{ 3} \rightarrow K^{ 9} \rightarrow K^{ 5} \rightarrow K^{1} \rightarrow 0$$
و$ \widetilde{H} _{1}(\Delta^{ \vee },K)= \frac{kernel(\delta _{1})}{Image(\delta _{2})} $
که $ \delta _{1} : K^{ 9} \rightarrow K^{5} $ و$ \delta _{2} : K^{ 3} \rightarrow K^{ 9} $ است.
