تعداد حالت های توزیع ۲۱ مهرهٔ متمایز در ۳ جعبهٔ متمایز که تعداد مهره ها در جعبهٔ نخست زوج، و در جعبهٔ دوم فرد باشند.

Question

به چند طریق می‌توانیم بیست‌ویک مهره متمایز از هم (غیر همانند) را در سه جعبه غیر همانند توزیع کرد طوری که تعداد مهره‌ها درجعبه اول زوج و تعداد مهره‌ها در جعبه دوم فرد باشد؟

Answer 1

سه جعبه دارید که در جعبهٔ دوم تعداد فرد مهره‌ می‌خواهید تعداد فردی مهره در دومی باشد و تعداد زوجی در دو جعبهٔ دیگر. مهره‌ها و جعبه‌ها متمایز هستند ولی توجه کنید که ترتیب در انتخاب مهم نیست. پس می‌توانیم بدون کاستن از کلیت اول مهره‌های خانهٔ دوم را انتخاب کنیم. برای یک عدد $0\leq i\leq 21,\;i\in\mathbb{O}$، تعداد $\binom{21}{i}$ انتخاب $i$ مهره برای خانهٔ دوم داریم. $\mathbb{O}$ مجموعهٔ اعداد صحیح فرد و $\mathbb{E}$ مجموعهٔ اعداد صحیح زوج است.

سپس مهره‌های خانهٔ یکُم (اول) را انتخاب کنیم. برای یک عدد $j\in\mathbb{E}$، $0\leq j\leq 21-i$ تعداد $\binom{21-i}{j}$ انتخاب $j$ مهره از $21-i$ مهرهٔ باقیمانده برای خانهٔ یکم داریم. روشن است که برای خانهٔ سوم فقط یک نوع انتخاب باقی‌ می‌ماند و آن هم قرار دادنِ همهٔ $21-(i+j)$ مهرهٔ باقی‌مانده در آن است (که تعدادشان هم زوج است).

پس تعداد کل حالت‌ها می‌شود؛ $$\sum_{0\leq i\leq 21,\;i\in\mathbb{O}}\big(\binom{21}{i}\sum_{0\leq j\leq 21-i,\;j\in\mathbb{E}}\binom{21-i}{j}\big)$$ که می‌توان آن را به عبارت زیر ساده‌کرد؛ $$\sum_{i=1}^{11}\big(\binom{21}{2i-1}\sum_{j=0}^{[\frac{21-(2i-1)}{2}]}\binom{21-(2i-1)}{2j}\big)$$

حاصل (محاسبه شده با Maple) برابر است با 2615088301.

Answer 2

فرض میکنیم هیچ جعبه ای خالی نباشد

چون جعبه اول زوج و جعبه دوم فرد پس جعبه سوم زوج میباشد

ابتدا حالت های زوج و فرد بودن را بررسی میکنیم و بعد باقی مهره ها را بصورت جفتی تقسیم میکنیم

در نتیجه در جعبه اول حداقل $2$ مهره و در جعبه دوم حداقل یک مهره و در جعبه سوم حداقل $2$ مهره موجود است که تعداد حالات را تا این مرحله محاسبه میکنیم

$$A=21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17= \frac{21!}{16!} $$

تعداد مهره های باقی مانده $16$ تا یا همان $8$ جفت میباشد

حال بررسی میکنیم به چند طریق مختلف میتوان این $8$ جفت را بدست آورد

از تعداد زیر مجموعه های $2$ عضوی در مجموعه ها استفاده میکنیم

$$\frac{16!}{2!14!}=120$$

حال با تقسیم $120$ بر $8$ تعداد افراز ها یا تعداد طرق مختلف بدست میآید

$$B=\frac{120}{8}=15$$

حال حالات تقسیم این $8$ جفت را داخل $3$ جعبه بررسی میکنیم

هر جفت را میتوان فقط در یک جعبه قرار داد پس هر جفت مهره $3$ حالت دارد

پس تعداد حالات این $8$ جفت برابر است با

$$C=3^8$$

حال با ضرب $A,B,C$ جواب بدست میآید

جواب با فرض اینکه در تمام جعبه ها مهره ای باشد برابر است با

$$A.B.C=\frac{21!}{16!} \times 15 \times 3^8$$

Comments

عددی که محاسبه‌ کرده‌اید 240317620200 است.

---

@salar یک اشتباه در خط چهارم‌تان این است که فرض کرده‌اید هر سه جعبه باید ناخالی باشند در حالیکه در صورت پرسش چنین فرضی نیست و عدد صفر نیز عددی زوج شمرده می‌شود. بقیهٔ حل‌تان را چک نکردم غیر از عدد آخر و ابتدای پاسخ‌تان که اشتباه می‌رود.