چرا $\lbrace x_1^2-x_2,x_1^3-x_3\rbrace$ یک پایهٔ گروبنر با ترتیب تک جمله ای های واژه نامه ای با $x_3<x_2<x_1$ نیست؟

Question

فرض کنیم ‎$I=\langle g_{1},g_{2}\rangle\subseteq K[x_1,x_{2},x_3]$‎ که ‎$ g_{1}=x_{1}^{2}-x_{2} $‎ و ‎$ g_{2}=x_{1}^{3}-x_{3} $‎. چرا ‎$ \lbrace g_{1},g_{2}\rbrace $‎ با ترتیب قاموسی $x_1>x_2>x_3$‎ یک پایه‌ی گروبنر نیست؟

Answer 1

اگر پایه ی گروبنر باشد آنگاه باید داشته باشیم: $in_{ < }(I)=(in_{ < }( g_{1} ),in_{ < }(g_{2})) $

یعنی به ازای هر عنصر در $ I $ انیش آن عنصر که در $ in_{ < }(I) $ قرار دارد توسط $ in_{ < }( g_{1} )$ یا $in_{ < }( g_{2} ) $ عاد شود(چون $ in_{ < }(I) $ ایده آلی تک جمله ای است)

اما عنصر $h=g_{2}- x_{1} g_{1} = x_{1} x_{2} - x_{3} $ که در $ I $ است دارای انیش $ x_{1} x_{2}$ است که نه $ in_{ < }( g_{1})=x_{1}^{2} $ و نه $ in_{ < }( g_{2})=x_{1}^{3} $ آن را عاد نمی کنند.