ثابت کنید که یک مجموعه از چندجمله ای ها یک پایهٔ گروبنر برای ایده آل تولیدشده اش است اگر و تنها اگر هر عضو این ایده آل نسبت به آنها به صفر کاهش یابد.

Question

نشان دهید $G=\{g_1,\dots,g_s\}$ یک پایه برای $I=(g_1,\dots,g_s)$ است اگر و تنها اگر هر چندجمله‌ای ناصفر $f \in I$ نسبت به $g_1,\dots,g_s$ به صفر کاهش یابد.

Answer 1

فرض کنید $G=\{g_1,…g_s\}$ یک پایه گروبنر باشد آنگاه طبق نتیجه ی 2.2.4 در صفحه 31 اگر $f \in I$ آنگاه باقیمانده منحصربفرد $f$ نسبت به $g_1,…g_s$ برابر صفر است.

برعکس فرض کنید هر $f \in I$، نسبت به $g_1,…g_s$ به صفر کاهش یابد. از آنجایی که به ازای هر $i \neq j$ داریم $S( g_{i} , g_{j} )\in I$ پس این عنصر طبق فرض نسبت به $g_1,…g_s$ به صقر کاهش می یابد پس از محک بوشبرگر($Buchbergers$) حکم نتیجه می شود.