خیلی بهتر میشد اگر پرسش‌کننده مشخص می‌کرد که منظورش «تابع چندجمله‌ای از $\mathbb{R}$ به $\mathbb{R}$» است یا چندجمله‌ای به عنوان یک مفهوم مستقل از تابع و کاملا جبر مجرد. در حالت نخست چون دامنهٔ هر دو تابع و اثرشان یکسان است پس پاسخ مثبت است.
در حالت دوم باید اشاره کنند که چندجمله‌ای با چه متغیر و بر روی چه حلقه‌ای و غیره در نظر گرفته‌اند. در حالت کلی، پیش‌فرض زمانی که از یک چندجمله‌ای تک‌متغیره صحبت می‌کنند، منظور عضوی از حلقهٔ $R[x]$ است که $R$ نیز یک حقلهٔ دیگر است. در این حقلهٔ جدید (یعنی $R[x]$ نه $R$) اصلا عضوی به شکل $\sqrt[3]{x}$ وجود ندارد که حالا بخواهیم از $(\sqrt[3]{x})^3$ صحبت کنیم. پس باید ابتدا اشاره کنند که در چه محیطی صحبت می‌کنند که مسلما خود $R[x]$ نیست و باید یک ابرحلقه (حلقه‌ای بزرگتر که شامل این حلقه باشد) از $R[x]$ بردارند که $\sqrt[3]{x}$ را دارا باشد. در اینصورت بنا به تعریفِ $\sqrt[3]{x}$ که یعنی یک چیزی از آن حلقهٔ بزرگتر که در برابریِ $z^3=x$ صدق کند پس $(\sqrt[3]{x})^3=x$ است و حاصل یک چندجمله‌ای‌است.
اما حالا اینکه بگوئیم $(\sqrt[3]{x})^3$ یک چندجمله‌ای است یا نه، باید دقیق‌تر باشیم. منظورتان این است که حاصل آن چندجمله‌ای است یا منظورتان این است که این نمایش، یک نمایش چندجمله‌ای‌وار است. پاسخ اولی مثبت و پاسخ دومی منفی است. یک نمایش چندجمله‌ای‌وار از فرجه یا مثلا روابط مثلثاتی یا انتگرال و غیره استفاده نمی‌کند. مثلا با اینکه $\sin^2(x)+\cos^2(x)$ برابر با ۱ است و ۱ یک چندجمله‌ای است، نمی‌توان گفت نمایشِ $\sin^2(x)+\cos^2(x)$ یک چندجمله‌ای بر حسب $x$ است. دقت کنید که می‌گوئیم بر حسب $x$ یک چندجمله‌ای نیست! اگر به جای در نظر گرفتنش بر حسب $x$، بر حسب $\cos(x)$ و $\sin(x)$ نگاهش کنیم، آنگاه یک چندجمله‌ای است. در واقع قرار دهید $u=\sin(x)$ و $v=\cos(x)$ آنگاه شما در حال نگاه کردن به $u^2+v^2$ هستید که عضو حلقهٔ $R[u,v]$ یا همان $R[\sin(x),\cos(x)]$ است. این حلقه با حلقهٔ $R[x,y]$ که هر دوی متغیرها کاملا مستقل جبری هستند و دارای درجهٔ تعالی ۲ است فرق دارد، در واقع این حلقه درجهٔ تعالی ۱ دارد چون بیشینه تعداد متغیرهایش که در هیچ رابطهٔ چندجمله‌ای‌ای صفر نشود ۱ است و اگر بخواهیم هر دو را در نظر بگیریم در رابطهٔ $u^2+v^2-1=0$ صدق می‌کنند. پس این حلقه در $\frac{R[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}$ نشانده میشود.
اکنون آیا $(\sqrt[3]{x})^3$ نمایشی چندجمله‌ای بر حسب $x$ است؟ خیر. چون در این نمایش برای $x$ فرجه وجود دارد. آیا نمایشی چندجمله‌ای بر حسب $\sqrt[3]{x}$ است؟ بلی، چون قرار دهید $u=\sqrt[3]{x}$، آنگاه نمایشمان $u^3$ بوده‌است که چندجمله‌ای‌ای در $R[u]=R[\sqrt[3]{x}]$ است که درجهٔ تعالی ۱ دارد و با $R[x]$ یکریخت است.
پس به عنوان نتیجه‌گیری؛ باید ابتدا منظورتان را مشخص کنید که تابع چندجمله‌ای یا عنصری از یک حلقهٔ چندجمله‌ای، و آیا حاصل یا نمایش، مورد نظرتان است. سپس با توجه به انتخاب‌تان پاسخ کاملا بدیهی است.
