چرا یک تک جمله ای، یک چندجمله ای نیز است؟ و آیا $x+2x$ و $|x|\times |x|$ و $\sqrt[3]{x^3}$ تک جمله ای هستند؟

Question

سلام. آیا عبارات مقابل یک یک‌جمله‌ای است؟ $( x^{3} )^{ \frac{1}{3} }$

این عبارات چطور؟ $x^{ \frac{3}{3} }$ و $x^{ \frac{2}{2} }$ و $x+2x$ و $| x | \times | x |$ و $\sqrt[3]{ x^{3} }$

حال اگر از نظر تابع چند‌جمله‌ای در نظر بگیریم چطور؟

و اینکه چرا هر یک یک‌جمله‌ای، یک چندجمله‌ای هم می‌باشد؟ مثلا صفر. آیا می‌شود اینطور توجیه کرد که مثلا چندجمله‌ای از جمع و تفریق تعدادی یک‌جمله‌ای به وجود می‌آید. و این تعداد برای یک‌جمله‌ای یک است بنابراین هر یک‌جمله‌ای چندجمله‌ای هم می‌باشد.

Comments

@Mohsenn اگر به چشم تابعِ حقیقی‌مقدار به این عبارت‌ها نگاه کنیم اتفاقا $(x^3)^{\frac{1}{3}}$ نیز با تابعِ $x$ برابر است. تنها گزینه‌ای که با تابعی چندجمله‌ای بر روی کل $\mathbb{R}$ برابر نمی‌شود $(x^2)^{\frac{1}{2}}$ است، نه به خاطر دامنه‌اش بلکه چون مقدارش برابر با $|x|$ می‌شود نه $x$ که $|x|$ چندجمله‌ای نیست.

Answer 1

نخست اینکه چرا تک‌جمله‌ای‌ها، چندجمله‌ای نیز هستند.

چند در چندجمله‌ای به چه معنا است؟ زمانی‌که از شما می‌پرسند چند سیب در یخچال دارید، آیا پاسخِ یک سیب پاسخی نادرست می‌شود؟ چند یعنی یک تعداد که این تعداد می‌تواند یک نیز باشد.

مسألهٔ بعدی این است که اصطلاح چندجمله‌ای نباید با تابع حقیقی‌مقدار چندجمله‌ای اشتباه شود! زمانی‌که بدون هیچ فرض اضافه‌تری حرف از چندجمله‌ای می‌زنید تنها دارید از یک سری متغیر و اعمال جبری در حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها حرف می‌زنید و اصلا کاری به دامنه و برد آنها ندارید. اگر به دروس جبری به ویژه جبرجابجایی و هندسهٔ جبری نگاه کنید، حتی مشتق چندجمله‌ای‌ها را با اینکه همان چیزی است که قبلا دیده‌اید از نو و بدون استفاده از حد می‌آیند می‌گویند اینگونه تعریف می‌کنیم! چرا نمی‌گویند اینگونه می‌شود و به جایش می‌گویند اینگونه تعریف می‌کنیم؟ چون چندجمله‌ای خود مفهومی مستقل است. گاهی چندجمله‌ای‌ها را روی ماتریس‌ها اثر می‌دهید در اینصورت اینکه بگویید $|x|\times|x|$ یک چندجمله‌ای است چون در یک مثال خاص مثلا به عنوان تابع روی اعداد حقیقی با $x^2$ برابر شد، حرفی اشتباه است مگر اینکه به تابع‌های حقیقی‌مقدار خودتان را محدود کنید و به این تحدید اشاره کنید. و همانطور که گفتم می‌تواند اصلا تابع در نظر گرفته نشده باشند. اگر به دورهٔ راهنمایی مراجعه کنید زمانی که می‌خواستند عبارات جبری رو یاد بدهند می‌گفتند دو سیب بعلاوهٔ ۳ پرتغال یا سیب به توان دو. آیا $x^2$ و $|x|\times|x|$ در حالتیکه $x$ سیب باشد، با هم برابرند؟

اما برویم سراغ زمانیکه شما خودتان را به تابع‌های با دامنهٔ اعداد حقیقی محدود کرده‌اید. همهٔ تابع‌هایی که در پرسش‌تان نوشته‌اید با یک تابع چندجمله‌ای‌ای برابر می‌شوند به غیر از تابع $x^{\frac{2}{2}}$. اگر منظورتان از $x^{\frac{2}{2}}$، عبارتِ $(x^{\frac{1}{2}})^2$ باشد، آنگاه دامنه‌اش کل اعداد حقیقی نیست، در حالیکه تابع $x$ دامنه‌اش کل اعداد حقیقی است. اگر برابری دو تابع را به یاد آورید، پیش از اینکه بخواهید اثر دو تابع بر روی اعضایشان را مقایسه کنید می‌بایست برابری دامنه‌هایشان را بررسی می‌کردید. اگر هم منظورتان عبارت $(x^2)^{\frac{1}{2}}$ باشد، آنگاه با اینکه دامنه‌اش $\mathbb{R}$ است، ولی مقدارش $|x|$ است و نه $x$.

و اما صفر. نیاز به سختی جمع و تفریق ندارید، خیلی ساده چون $0=0\cdot x^0$، پس $0$ یک چندجمله‌ای است.

Comments

AmirHosein@ خب پس شما هم نظرتون بر اینه که چند جمله ای ها رو نباید با توابع چند جمله ای در نظر گرفت . منم دقیقا این رو قبول دارم .   البته خود من کلا چند جمله ای ها رو به شکل دنباله ضرائب میشناسم .  اما فقط میخام بدونم تو پایه های دبیرستان اجازه ریشه گیری و ساده کردن توان ها رو داریم . ؟؟  
و x +2x  چند جمله ای است؟

  و یک چیز دیگه مگه اصلا برای چند جمله ای ها ما میتونیم دامنه تعیین کنیم که بگیم مثلا به علت اینکه  {(ایکیس به توان دو  ) به توان یک دوم}  چون دارای  دامنه منفی هم میشه نمیشه  ضرب کرد . ( این نظر دوستتون آقا عرفانه که اثبات کردن قدر مطلق ایکس چند جمله ای نیست)
 
   
 تا بع <math>$x^{ \frac{2}{2} }$</math> دامنه اش کل اعداد حقیقی نیست
؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
سوال من درباره صفر نبود . صفر یک  مثال بود.( کل اعداد حقیقی یک جمله ای هستند. ) مشکلی دیگه ای که هست تو تعریف چند جمله ای هاس که میگن مثلا kجمله ای از اجتماع kتا یک جمله ای به وجود میاد . که اینجوری :     x+0+0+0 =x خب حالا صفر که یک جمله است  . اینجا چیکار کنیم .

---

@Mohsenn چندجمله‌ای را می‌توان مستقل از مفهوم تابع بیان کرد ولی این حرف مساوی با این نیست که نباید چندجمله‌ای‌ها را تابع نیز درنظر گرفت. هر چیزی وابسته به جایش است. یک چندجمله‌ای را به وقتش باید یک بردار از یک فضای برداری دید، به وقتش باید یک عبارت جبری خالی دید، به وقتش باید یک نگاشت دید، به وقتش یک عنصر از یک میدان دید و الی آخر.

حرفی که آقای @erfanm زده‌اند اشتباه نیست، ایشان ثابت کرده‌اند که تابع $|x|$ یک تابع چندجمله‌ای نیست. این یعنی هیچ چندجمله‌ای‌ای وجود ندارد که به عنوان تابع با این تابع برابر باشد. وقتی یک چندجمله‌ای را تابع در نظر بگیرید باید صد البته دامنه نیز داشته‌باشد. یک تابع یک رابطه است و یک رابطه یک زیرمجموعه از حاصلضرب دکارتی دو مجموعه است که دارای دو ویژگی است. مجموعهٔ نخست دامنه و مجموعهٔ دوم این حاصلضرب دکارتی هم‌دامنه نامیده‌ می‌شوند. پس تابعی که دامنه نداشته‌باشد نداریم.

بلی $x+2x$ یک چندجمله‌ای است و در واقع چیزی به جزء تک‌جمله‌ایِ $3x$ نمی‌باشد.

چرا می‌گوئید اجتماع جمله‌ها؟ مگر جمله‌ها مجموعه هستند؟ فکر کنم منظورتان جمعِ جمله‌هاست.

من نمی‌فهمم چه تناقضی در $x=x+0+0+0$ پیدا کرده‌اید؟ برای شمارش تعداد کمینهٔ جمله‌های یک چندجمله‌ای ابتدا آن را به شکل استاندارد می‌نویسید و سپس تعداد جمله‌های با ضریب ناصفر را می‌شمارید. و توجه کنید که در خیلی از منابع یک تک‌جمله‌ای، یک دوجمله‌ای نیز هست مانند مقالهٔ Binomial Ideals از آقای Bernd Sturmfels و David Eisenbud.

---

@Mohsenn اجتماع و جمع ای که شما جابجا نوشتید باعث می‌شود جمله‌تان بی‌معنا شود ولی اینکه در جایی که گوینده و شنونده می‌دانند منظور از چندجمله‌ای همان تابع چندجمله‌ای بوده‌است بنویسید چندجمله‌ای، مشکلی وجود ندارد. این کار که از واژه‌های کمتری استفاده کنید و یک سری شرایط را پیش‌فرض به دلیلِ «ثابت‌بودنشان در بحث و آگاهی جمعِ موردنظر از آنها» اشاره نکنید یک عملِ معمول است. برای نمونه آیا در مواردی که تا به حال در سایت گذاشته‌اید، هر بار که از متغیر صحبت می‌کنید، می‌نویسید $x$ را یک متغیر بر روی فلان ساختار و چندجمله‌ای‌هایتان را از حلقه یا میدان اعداد حقیقی می‌گیرید؟
یک چندجمله‌ای به عنوان عبارت جبری و با تعبیر مستقل از تابع، نیاز به دامنه ندارد. اما توجه کنید که در اینصورت، $|x|$ به علتی بدیهی‌تر یک چندجمله‌ای نمی‌شود. چرا؟ چون در حلقهٔ $R[x]$ نماد و مفهوم قدرمطلق نداریم. حتی $\sqrt{x}$ نیز عضوی از این حلقه نیست.
در مورد صفر نیز، «$0$» یک تک‌جمله‌ای است. و اگر $f$ یک $n$-جمله‌ای باشد آنگاه $f+0$ باز هم یک $n$1-جمله‌ای است. تناقضی نیست، علتش این است که شکل استانداردِ $f$ و $f+0$ یکسان می‌شود. اگر بخواهید صفر کم و زیاد کنید و تعداد را متفاوت اعلام کنید، آنگاه مشکل فقط صفر نخواهد بود، بلکه خیلی راحت $x$ به تعداد دلخواه اضافه و به همان تعداد هم کم کنید و شمارش‌های عجیب بدست بیاورید. اینها تناقضی ایجاد نمی‌کنند، چون از اول تعداد جمله‌های چندجمله‌ای با توجه به شکل استانداردش تعریف شده‌اند پس شمارش‌های دیگری که بدهید در تعریف صدق نمی‌کنند و در نتیجه بنا به انتفای مقدم اصلا تعداد جمله‌ها را اعلام نمی‌کنند که بخواهد تناقضی بسازد.

---

@Mohsenn در کتاب ریاضی راهنمایی در مبحث عبارات جبری واژهٔ «سیب به توان دو» نیامده‌است. من در صحبت با شما به کار بردم صرفا به عنوان یک عبارت جبریِ مجرد. برای یک دانش‌آموز راهنمایی صرفا به همان $2\text{ apple }+3\text{ orange }$ اکتفا کنید. در مقطع راهنمایی هنوز تابع و دامنه هم فکر نکنم به صورت رسمی دبیرستان بحث شده‌باشند.