نخست اینکه چرا تکجملهایها، چندجملهای نیز هستند.
چند در چندجملهای به چه معنا است؟ زمانیکه از شما میپرسند چند سیب در یخچال دارید، آیا پاسخِ یک سیب پاسخی نادرست میشود؟ چند یعنی یک تعداد که این تعداد میتواند یک نیز باشد.
مسألهٔ بعدی این است که اصطلاح چندجملهای نباید با تابع حقیقیمقدار چندجملهای اشتباه شود! زمانیکه بدون هیچ فرض اضافهتری حرف از چندجملهای میزنید تنها دارید از یک سری متغیر و اعمال جبری در حلقهٔ چندجملهایها حرف میزنید و اصلا کاری به دامنه و برد آنها ندارید. اگر به دروس جبری به ویژه جبرجابجایی و هندسهٔ جبری نگاه کنید، حتی مشتق چندجملهایها را با اینکه همان چیزی است که قبلا دیدهاید از نو و بدون استفاده از حد میآیند میگویند اینگونه تعریف میکنیم! چرا نمیگویند اینگونه میشود و به جایش میگویند اینگونه تعریف میکنیم؟ چون چندجملهای خود مفهومی مستقل است. گاهی چندجملهایها را روی ماتریسها اثر میدهید در اینصورت اینکه بگویید $|x|\times|x|$ یک چندجملهای است چون در یک مثال خاص مثلا به عنوان تابع روی اعداد حقیقی با $x^2$ برابر شد، حرفی اشتباه است مگر اینکه به تابعهای حقیقیمقدار خودتان را محدود کنید و به این تحدید اشاره کنید. و همانطور که گفتم میتواند اصلا تابع در نظر گرفته نشده باشند. اگر به دورهٔ راهنمایی مراجعه کنید زمانی که میخواستند عبارات جبری رو یاد بدهند میگفتند دو سیب بعلاوهٔ ۳ پرتغال یا سیب به توان دو. آیا $x^2$ و $|x|\times|x|$ در حالتیکه $x$ سیب باشد، با هم برابرند؟
اما برویم سراغ زمانیکه شما خودتان را به تابعهای با دامنهٔ اعداد حقیقی محدود کردهاید. همهٔ تابعهایی که در پرسشتان نوشتهاید با یک تابع چندجملهایای برابر میشوند به غیر از تابع $x^{\frac{2}{2}}$. اگر منظورتان از $x^{\frac{2}{2}}$، عبارتِ $(x^{\frac{1}{2}})^2$ باشد، آنگاه دامنهاش کل اعداد حقیقی نیست، در حالیکه تابع $x$ دامنهاش کل اعداد حقیقی است. اگر برابری دو تابع را به یاد آورید، پیش از اینکه بخواهید اثر دو تابع بر روی اعضایشان را مقایسه کنید میبایست برابری دامنههایشان را بررسی میکردید. اگر هم منظورتان عبارت $(x^2)^{\frac{1}{2}}$ باشد، آنگاه با اینکه دامنهاش $\mathbb{R}$ است، ولی مقدارش $|x|$ است و نه $x$.
و اما صفر. نیاز به سختی جمع و تفریق ندارید، خیلی ساده چون $0=0\cdot x^0$، پس $0$ یک چندجملهای است.
