در یک چهارضلعی تنها اندازه زاویه هاش را می دانیم. یکی از قطرهایش را می کشیم، زاویه های بدست آمده را می توان بدست آورد؟

Question

چهارضلعی آمده در شکل زیر را درنظر بگیرید. تنها می‌دانیم که $\hat{A}=80,\;\hat{B}=90,\;\hat{C}=75,\;\hat{D}=115$ سپس قطرِ $BD$ را رسم می‌کنیم. می‌خواهیم اندازهٔ زاویه‌های $\hat{B}_1,\hat{B}_2,\hat{D}_1,\hat{D}_2$ را پیدا کنیم. آیا ممکن است؟ و اگر بلی چگونه؟

Comments

فقط با $4$ زاویه نمیتوان چهارضلعی هایی رسم کرد تا همه با هم متشابه باشند
باید اطلاعات و شرایط دیگری هم در دسترس باشد
برای مثال از وسط $AD$ به موازات $CD$ رسم کنید مقادیر $B_{1},B_{2}, D_{1},D_{2}$ تغییر میکنند.
پس ثابت نیستند تا مقادیر آن حساب شود.
برای درک بهتر این مطلب مستطیل و مربع را با رسم یک قطر مقایسه کنید.

---

اگر مسئله تحلیلی باشد میتوان بنوعی جواب داد ولی در هندسه پایه چنین مسئله ای بعید است.

---

این سوال پاسخ قطعی احتمالا ندارد. زیرا دو چهارضلعی از روی ۴ زاویه لزوما متشابه نیستند. برای مثال ۲ مستطیل را درنظر بگیرید. در هر دو همه ی زاویه ها ۹۰ درجه اند ولی لزوما زاویه ی بین قطر ها و اضلاع در آنها با هم برابر نیست.

---

باسلام.بله حق با شماست.ویرایش شد

---

@aliyensi ممنون که ویرایش کردید ولی شما هنوز متن پرسش را عکسی از دست‌نوشته‌تان نگه داشته بودید و چیزی تایپ نکرده‌بودید. با ویرایش کلی‌ای که الآن انجام دادم مقایسه کنید.

Answer 1

از دو راس$C,A$ عمود بر $BD$ رسم میکنیم.

$$ \widehat{EAB}=B_{2} \Rightarrow \widehat{EAD}=B_{1}-10 \\ \Rightarrow \ D_{1}=B_{2}+10$$ $$ \widehat{FCB}=B_{1} \Rightarrow \widehat{FCB}=B_{2}-15 \\ \Rightarrow D_{2}=B_{1}+15$$

با اطلاعات مسئله فقط رابطه بین زاویه ها بدست می آید.

Comments

دلیلی برای تساوی‌های نخست‌تان یعنی $\widehat{EAB}=\hat{B}_2$ و دیگری نیاوردید. دست‌کم از روی شکل‌تان هم تساویِ $\widehat{FCB}=\hat{B}_1$ نادرست است!
دو رابطه‌ای هم که در آخر داده‌اید همان دو رابطه‌ای است که @alitk داده‌اند و هیچ استفاده‌ای از عمودها در بدست‌آمدنشان نیاز نیست.

---

چون مثلث قائم الزاویه است پس:
  $\widehat{EAD}+ \widehat{ B_{2}}=80$   $\Rightarrow $ $\widehat{EAB}+ \widehat{ B_{1}}=90$ و $ \widehat{A}+ \widehat{B} =170$

  $\widehat{ B_{2}}= \widehat{EAB}$  $\Rightarrow$ $\widehat{EAD}+ \widehat{ B_{2}}=80$ و $ \widehat{EAB}+ \widehat{EAD}=80$
تساوی دوم هم به این روش اثبات میشود.

---

@behdad شما در دو گام انجام دادید (۱+). یک‌ضرب هم می‌توانید انجام دهید؛
چون $\widehat{EAB}+\hat{B}_1=180-\widehat{AEB}=90$ و $\hat{B}_1+\hat{B}_2=90$
، پس $\widehat{EAB}=\hat{B}_2$.

---

@AmirHoseinاگر $B_{1}+B_{2}=90$ آنگاه $180-(90+B_{2})=B_{1}$ نادرست باشد
بله شما درست میگویید و این جمع و تفریق ساده نادرست است.

---

@salar متوجه دیدگاه‌تان نمی‌شوم، دقیقا چه چیزی را با این دیدگاه پاسخ داده‌اید یا توضیح یا نکته‌ای اضافه کردید؟