دنبالهٔ وارونهای عددهای طبیعی یعنی
$$\frac{1}{1},\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{4},\;\frac{1}{5},\cdots$$
را با $\lbrace a_n\rbrace_{n=1}^\infty$ نمایش دهید. به این دنباله اصطلاحا میگویند دنبالهٔ همسازه. از روی این دنباله یک دنبالهٔ جدید میسازیم که عضوِ $n$اُم آن جمع اعضای شمارهٔ یک تا $n$ دنبالهٔ بالا هستند. یعنی برای هر $n\in\mathbb{N}$ داریم:
$$s_n\colon =\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$$
همانگونه که احتمالا آشنا هستید به چنین دنبالههایی که از جمعهای متناهی اعضای پشتسرهمِ نخست یک دنباله بوجود میآیند، دنبالهٔ جمعهای پارهای (مجموع جزئی) -ِ یک سری میگوییم که خود سری یعنی حد این دنبالهٔ جدید که ممکن است موجود باشد یا نباشد (که به ترتیب میگوئیم سری همگرا یا واگرا است). به سریِ $s=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i}$ سری همسازه میگویند. به اعضای دنبالهٔ $\lbrace s_n\rbrace_{n=1}^\infty$ عددهای همسازه میگویند. $s_n$ را $n$اُمین عدد همسازه میگوئیم. اینکه سری همسازه واگرا به مثبت بینهایت است را در جاهای گوناگونی اثباتش را میبینید (مانند این پیوند از همین سایت) که در متن پرسش نیز اشاره بر دانستهبودنش بوسیلهٔ پرسشکننده شدهاست. برویم دنبال عددهای همسازه. برای دیدن چند روش که کران بالا و پائین برای این عددها بدست میآورند میتوانید به پست دیگری در همین سایت نگاه کنید (اینجا کلیک کنید).
برای عددهای همسازه فرمولهای گوناگونی میتوانید ببینید که البته به معنای سادهتر کردن محاسبهٔ آنها نیست. سادهترین فرمولی که میتوانید به آن فکر کنید (به ویژه اگر بر روی پیوند آورده شده در انتهای پاراگراف پیشین کلیک کرده باشید) استفاده از انتگرال است و به یاد آوردن انتگرال چندجملهایها! یادتان است که سادهترین فرمولهای انتگرال که در ابتدای یادگیری انتگرال آموزش میدادند چه بود؟ بلی $\int x^n{\rm d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c$. اگر بخواهید یک جمله از دنبالهٔ همسازه یعنی $a_n=\frac{1}{n}$ بسازید چگونه با این انتگرال آن کار را میکنید؟ کافیاست توان را مناسب بردارید و انتگرال را به جای نامعین (زمانیکه بازهٔ انتگرالگیری مشخص نمیکنید میگوئيم نامعین که در واقع در حال پیدا کردن تابع اولیه یا همان پادمشتق هستید) از معین استفاده کنید (یعنی کران پائین و بالای بازهٔ انتگرالگیری را مشخص کنید و ثابت بگیرید). در واقع؛
$$\frac{1}{n}=\int_0^1 x^{n-1}{\rm d}x$$
و توجه دارید که وقتی $n=1$ توان $x$ صفر است پس اکنون بیاییم عددهای همسازه یعنی $s_n$ها را بنویسیم.
\begin{align}
s_n &= 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\\
&= \int_0^1(1){\rm d}x+\int_0^1 x{\rm d}x+\cdots+\int_0^1 x^{n-1}{\rm d}x\\
&= \int_0^1(1+x+\cdots+x^{n-1}){\rm d}x
\end{align}
اما تعمیم اتحاد چاق و لاغر از یکُم دبیرستان به یادتان بیاید که داشتیم
$$(a^n-b^n)=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$$
که اگر به جای $a$ و $b$ قرار بدهید ۱ و $x$ آنگاه دارید؛
$$1-x^n=(1-x)(1+x+\cdots+x^{n-1})$$
بنابراین در انتگرال آخر میتوانیم سادهسازی زیر را انجام دهیم.
$$s_n=\int_0^1\frac{1-x^n}{1-x}{\rm d}x$$
