به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
70 بازدید
در دبیرستان توسط Grau.wolf.727

۴۵ ضلعی منتظمی مفروض است.آیا می‌توان راسهای آن را با عددهای ۲،۱،۰،...و۹ طوری شماره گذاری کرد که به ازای هر دو عدد مختلف ضلعی وجود داشته باشد که دو انتهای آن با این عدد ها شماره گذاری شده باشند؟

تلاش برای حل سوال:تو کتابی که سوال طرح شده،در قسمت پاسخنامه گفته بود که برای انجام این کار هر عدد باید حداقل روی ۵ نوشته شه.خوب چرا روی ۵راس؟؟؟چرا روی ۴راس نمیشه نوشت؟؟ صورت سوال رو دقیق نفهمیدم.

مرجع: کتاب ترکیبیات علیرضا علیپور از انتشارات فاطمی(کتاب زرد رنگ که جز مجموعه کتابهای آمادگی برای المپیاد ریاضی هست)
توسط Mahdimoro
+1
این موردی که گفتید به این دلیله که هر راس دو همسایه(راس مجاور) داره و چون قراره هر رقمی با بقیه ی ارقام دقیقا یک بار همسایه بشه، یعنی ۹ بار، بنابر اصل لانه کبوتری باید حداقل روی  9/2=5 راس نوشته شده باشه. اگه قانع نشدید یه کار دیگه میکنیم، میشه حتی فرض خلف کرد که یه رقمی وجود داره که روی ۴ تا راس نوشته شده، در این صورت چون هر راس ۲ تا همسایه داره این رقم حداکثر با ۲×۴=۸ تا رقم دیگه همسایه ست که این تناقضه چون هر رقم باید با ۹ رقم دیگه همسایه باشه.
اگر هم ابهامی توی صورت سوال دارید صورت سوال میگه که آیا ممکنه طوری ارقام رو روی رئوس بنویسیم که هر ۲ رقم متمایزی که انتخاب کنیم یه ضلعی وجود داشته باشه که دو سرش این دو رقم باشند؟
اگه با این نکته باز هم سوال حل نشد بگید.
توسط Grau.wolf.727
خیلی ممنون.حل شد✅

2 پاسخ

0 امتیاز
توسط MSS

خیر نمی توان.

برای انجام این کار هر عدد باید حداقل روی ۵ راس نوشته شود(اثبات در قسمت دیدگاه). چون ده عدد داریم، پس حد اقل پنجاه راس نیاز داریم.

پس 45 ضلعی نمیتواند خواسته مساله را براورده سازد.

0 امتیاز
توسط Grau.wolf.727

برای انجام این کار هر رقم(مثل ۰) باید حداقل با ۹رقم دیگه یک بار مجاور باشه. خوب هر رقمی که روی یک راس نوشته شده ۲ تا همسایه(راس مجاور)داره. حالا این همسایه هاش میتونن مثل هم باشن یا متفاوت. چون اینجا تعداد راس هامون خیلی کمه میگیم همسایه های مجاور هر رقم، متفاوتن. خوب همونطور که در بالا گفتم برای انجام اینکار باید هر رقم حداقل با ۹رقم دیگه یک بار همسایه باشه. یک رقم=۲همسایه متفاوت. دورقم=چهار همسایه متفاوت و .... خوب پس چند رقم میخوایم تا ۹ همسایه متفاوت داشته باشیم. بله ما ۵رقم لازم داریم. یعنی هر عدد دلخواه مثل ۰ باید حداقل روی ۵راس نوشته شه تا بتونه با هر کدوم از ۹ عدد یک بار همسایه شه. پس میگیم هر عدد حداقل باید ۵بار روی رأس ها نوشته شه. ما ۱۰ عدد داریم و برای نوشتن همه اونا روی رأس ها به ۵۰ راس نیاز داریم. یعنی حداقل به یک ۵۰ضلعی!!! پس این کار رو برای ۴۵ضلعی نمیتونیم انجام بدیم. کار اصلی رو کاربرmahdimoro تو دیدگاه انجام دادن من فقط توضیح دادم. توضیحم مبتنی بر روش اصل لانه کبوتری بود.همون اثبات اولی ایشون.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...