تابع سینک $sinc$ چیست و چگونه میشود مقدار آن را در نقطههای مختلف محاسبه کرد؟

Question

لطفا در مورد تابع سینک $sinc$ اطلاعاتی بهم بدهید. در جایی دیدم که تابع سینک را $\frac{\sin(u)}{u}$ تعریف کرده‌است و سپس یک جدول برای برخی از مقادیر آن ارائه داده‌است که چند مقدار آن را در زیر آورده‌ام. می‌خواستم بدانم چگونه مقادیر جدول بدست‌آمده‌اند.

$$\begin{array}{|l|l|} \hline u & sinc(u)\\ \hline 0 & 1\\ \hline 0.1 & 0.9983\\ \hline 0.8 & 0.8966\\ \hline \end{array}$$

Answer 1

تابع $sinc(x)$ دقیقا به شکل زیر تعریف می‌شود نه به شکلی که در متن پرسش تایپ‌کرده‌اید. $$sinc(x)=\left\lbrace\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x} & ;\;x\neq 0\\ 1 & ;\; x=0\end{array}\right.$$ لفظ sinc نیز کوتاه‌شدهٔ sine cardinal است.

---

در مورد دیدگاهی که گفتید چرا در جدول مقدار مربوط به $sinc(0.1)$ را $0.9983$ گذاشته‌است. دلیل خاصی ندارد، دقیقا از تعریف خود تابع استفاده کرده‌است که پاسخ را به چهار رقم اعشار گرد و نشان داده‌است. برای نمونه در زیر تصویر محاسبه از طریق تعریف بوسیلهٔ نرم‌افزار میپل Maple را گذاشته‌ام. مقدارِ $\sin(x)$ را در نقطهٔ دلخواه حساب کنید و بر خود $x$ تقسیم کنید. برای اینکه مطمئن شوید که واقعا همین اتفاق در حال رُخ دادن است، در خط سوم مقدار خود $\sin(0.1)$ را درخواست‌کردم. حالا تقسیم بر یک‌دهم کردن یعنی ضرب‌در ده کردن که به راحتی می‌بینید که عدد خروجی سوم ضربدر ۱۰ همان عدد خروجی دوم است که اگر بخواهید به روش گرد کردن تقریب بزنید و فقط ۴ رقم بعد از اعشار را نشان دهید می‌شود همان عدد داخل جدول‌تان.

Comments

با تشکر از پاسخ شما، اما یک جدول وجود داره که در اون وقتی مثلاً ورودی عدد یک دهم هست جواب در میاد ۰٫۹۹۸۳
موندم این چطوریه؟؟!!

---

یک رابطه پیدا کردم که در مورد اعداد بین صفر تا یک جواب میده اما در مورد اعداد بزرگتر از یک جواب نمیده!!!
رابطش اینه:
یک منهای ، ایکس به توان دو تقسیم بر شش

---

@Benyamin در ادامهٔ متن پاسخ، محاسبهٔ $sinc(0.1)$ را برایتان آوردم. چیزی که شما نیاز دارید چگونگی محاسبهٔ خود سینوس برای یک عدد حقیقی دلخواه است نه یک فرمول برای $sinc$ چون هر فرمولی برای سینوس را بردارید و یک تقسیم بر $x$ به حاصل آخرش اضافه کنید کار شما را راه می‌اندازد. اگر برای محاسبهٔ عددی سینوس سوال دارید می‌توانید پرسش جدیدی پست کنید، البته با یک جستجو در کتاب‌های ریاضی عمومی یا آنالیز عددی نیز می‌توانید چند فرمول پیدا کنید. بعلاوه مشکل فرمول آخرتان هم این است که از هم‌ارزی در نزدیکی صفر استفاده می‌کند پس فقط هم در همسایگی صفر باید انتظار داشته‌باشید که تقریب خوبی بشود و نادرست بودنش برای عدد بزرگتر از یک چیز غیرمنتظره‌ای نیست.