محاسبه ی حجم کره و مخروط با استفاده از انتگرال

Question

حجم کره و مخروط با چگونه استفاده از انتگرال بدست آوریم؟ لطفا در مورد انجام این محاسبه راهنمایی‌ام کنید یا منبعی را معرفی کنید.

Comments

خوب؟ سوالتون چیه؟

---

@fardina
با استفاده از انتگرال حجم كره و مخروط رو ميخوام

Answer 1

جواب این سوال شما در همه ی کتاب های ریاضی عمومی پیدا میشه. یکی از راه حل ها به این صورت است:

کره را می توان به این صورت ساخت که دایره ی به شعاع $a$ در صفحه ی $xy$ را در نظر بگیرید و آن را حول محور $x$ یا $y$ بچرخانید در اینصورت چیزی که حاصل می شود یک کره به مرکز مبدا و شعاع $a$ است.

در اینصورت می توانیم در هر نقطه ی $-a< x< a$ یک برش به ضخامت $\Delta x$ در نظر گرفت. در اینصورت مساحت این قطعه (که شعاع آن $y$ می باشد) برابر است با $A(x)=\pi y^2=\pi(x^2-a^2)$ . در اینصورت اگر تمام این مساحت ها را با هم جمع بزنیم به حجم کره می رسیم: $V=\int_{-a}^a A(x)dx=\int_{-a}^a\pi(a^2)-x^2)dx=\pi a^2x-\frac{x^3}3]_{-a}^a=\frac43\pi a^3$

برای حجم مخروط به شعاع $r$ و ارتفاع $h$ می توانید شکلی که زیر خطی که نقاط $(0,0),(h,r)$ را به هم وصل می کند را حول محور $x$ ها بچرخانید تا یک مخروط ایجاد شود.

دراینصورت مانند حالت قبل اگر یک برش از شکل را با عمود کردن دو صفحه بر محور $x$ ها در نظر بگیرید یک دایره به شعاع $y$ و ضخامت $\Delta x$ ایجاد می شود که مساحت آن برابر $A(x)=\pi y^2=\pi(\frac rhx)^2=\pi \frac{r^2}{h^2}x^2$ است و اگر این مساحت ها را از $0$ تا $h$ جمع بزنیم داریم:

$$V=\int_0^h \pi\frac{r^2}{h^2}x^2 dx=\pi\frac{r^2}{h^2}\frac{x^3}3]_0^h=\frac 13\pi r^2h$$

Comments

@fardina
اون(A(Xرو چطوري بايد به دست آورد؟؟

---

$A(x)$ یعنی مساحت اون دایره قرمز که شعاعش برابر $y$ است. پس $A(x)=\pi y^2$ و توجه کنید که معادله ی دایره در صفحه $xy$ برابر $x^2+y^2=a^2$ است. لذا $y^2=a^2-x^2$ و بنابراین $A(x)=\pi y^2=\pi(a^2-x^2)$