به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
333 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط malekreventon
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

دو استوانه بر هم عمود می‌باشند مطلوب است محاسبه حجم بین آنها

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@malekreventon باید بگوئید حجم اشتراک آنها نه حجم بین آنها! بین آنها یعنی ناحیه‌ای که بین دو آن دو است!

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein

نخست اینکه باید در پرسش قید کنید که آیا استوانه‌هایتان ارتفاع متنهای دارند یا خیر. در صورت ارتفاع متناهی داشتن در کجا بر یکدیگر عمود هستند! اگر استوانه‌ها نامتناهی باشند یا شعاع قاعده و ارتفاعشان مناسب باشد و در جایی قطع داده شده باشند که کاملا محل اشتراک در داخل هر دو استوانه قرار بگیرد و بیرون زدگی نداشته باشد، مانند شکل زیر، آنگاه بدون کاستن از کلیت با انتقال و دوران در فضا می‌توانید فرض کنید که معادلهٔ استوانهٔ یکم $x^2+y^2=r^2$ و معادلهٔ استوانهٔ دوم $y^2+z^2=s^2$ است.

enter image description here

هر نقطه‌ای که عضو هر دوی این دو استوانه باشد باید مختصاتش در معادلهٔ هر دو استوانه صدق کند. پس باید در جمع آن دو نیز صدق کند. اما این جمع برابر است با $$x^2+2y^2+z^2=r^2+s^2=(\sqrt{r^2+s^2})^2$$ اگر توجه کنید یک بیضی‌گون دارید. آن را به شکل استاندارد در بیاورید. $$\dfrac{x^2}{\sqrt{r^2+s^2}^2}+\dfrac{y^2}{\sqrt{\frac{r^2+s^2}{2}}^2}+\dfrac{z^2}{\sqrt{r^2+s^2}^2}=1$$ فرمول حجم بیضی‌گون را به یاد آورید. یا در مورد شما با انتگرال آن را به دست آورید. $$V=\frac{4}{3}\pi abc$$ که $a$ و $b$ و $c$ مخرج‌های سه کسر سمت چپ در شکل استاندارد بیضی‌گون هستند. پس باید حجم برابر شود با $$V=\frac{4}{3}\pi\dfrac{(r^2+s^2)\sqrt{r^2+s^2}}{\sqrt{2}}$$ اگر شعاع هر دو قاعده یک می‌بود آنگاه $\sqrt{2}$ نیز ساده می‌شد و در آن حالت حجم برابر می‌شد با $\frac{8\pi}{3}$.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...