محاسبه حجم دو استوانه عمود بر هم با استفاده از انتگرال

Question

دو استوانه بر هم عمود می‌باشند مطلوب است محاسبه حجم بین آنها

Comments

@malekreventon باید بگوئید حجم اشتراک آنها نه حجم بین آنها! بین آنها یعنی ناحیه‌ای که بین دو آن دو است!

Answer 1

نخست اینکه باید در پرسش قید کنید که آیا استوانه‌هایتان ارتفاع متنهای دارند یا خیر. در صورت ارتفاع متناهی داشتن در کجا بر یکدیگر عمود هستند! اگر استوانه‌ها نامتناهی باشند یا شعاع قاعده و ارتفاعشان مناسب باشد و در جایی قطع داده شده باشند که کاملا محل اشتراک در داخل هر دو استوانه قرار بگیرد و بیرون زدگی نداشته باشد، مانند شکل زیر، آنگاه بدون کاستن از کلیت با انتقال و دوران در فضا می‌توانید فرض کنید که معادلهٔ استوانهٔ یکم $x^2+y^2=r^2$ و معادلهٔ استوانهٔ دوم $y^2+z^2=s^2$ است.

هر نقطه‌ای که عضو هر دوی این دو استوانه باشد باید مختصاتش در معادلهٔ هر دو استوانه صدق کند. پس باید در جمع آن دو نیز صدق کند. اما این جمع برابر است با

$$x^2+2y^2+z^2=r^2+s^2=(\sqrt{r^2+s^2})^2$$ اگر توجه کنید یک بیضی‌گون دارید. آن را به شکل استاندارد در بیاورید. $$\dfrac{x^2}{\sqrt{r^2+s^2}^2}+\dfrac{y^2}{\sqrt{\frac{r^2+s^2}{2}}^2}+\dfrac{z^2}{\sqrt{r^2+s^2}^2}=1$$ فرمول حجم بیضی‌گون را به یاد آورید. یا در مورد شما با انتگرال آن را به دست آورید. $$V=\frac{4}{3}\pi abc$$ که $a$ و $b$ و $c$ مخرج‌های سه کسر سمت چپ در شکل استاندارد بیضی‌گون هستند. پس باید حجم برابر شود با $$V=\frac{4}{3}\pi\dfrac{(r^2+s^2)\sqrt{r^2+s^2}}{\sqrt{2}}$$ اگر شعاع هر دو قاعده یک می‌بود آنگاه $\sqrt{2}$ نیز ساده می‌شد و در آن حالت حجم برابر می‌شد با $\frac{8\pi}{3}$.