حجم مقداری از نیم کره با استفاده از انتگرال

Question

کاسه ای به شکل نیم کره داریم. که شعاع آن a است. این کاسه را تا ارتفاع h از آب پر شده است. حجم آب کاسه چقدر است؟؟؟ (دقت کنیدحجم آب کاسه را می خواهیم نه حجم خود نیم کره. با استفاده از انتگرال این مساله را حل کنید ممنون)

Answer 1

$$r=\sqrt {a^2-(a-y)^2}=\sqrt{-y^2+2ay} $$

بنابراین جواب برابر است با: $$ \int_{0}^{h}r^2\pi dy=\pi \int_{0}^{h}(-y^2+2ay )dy $$