محاسبه حجم بیرون مخروط و درون کره با استفاده از روش واشر

Question

مخروطی درون کره ای قرار دارد. مطلوب است محاسبه ی حجم بیرون مخروط و درون کره با استفاده از محاسبه حجم به روش واشر.

Comments

@Me.S
سوالتان را کامل بیان نکرده اید.
چه مخروطی؟ زاویه مخروط با محور z؟
کره با چه شعاعی؟
اگر پارامتری میخواهید خب از اول ذکر کنید که مخروط با زاویه theta با محور z و کره با شعاع r. در غیر این صورت اطلاعات را کامل کنید.
در ضمن پیشنهاد میشود که این چنین مسائلی که مربوط به کره و مخروط هست را با انتگرال گیری 3گانه در مختصات کروی حل کنید. بسیار ساده تر است.

---

@s.j.sss
شعاع و زاویه داده نشده. شعاع کره هم r در نظر گرفته شده.
انتگرال سه گانه هنوز تدریس نشده!
باید به روش واشر حل بشه.

---

سوال کجا بوده؟ تمرین هست یا سوال امتحانی؟ حداقل شکلش را بکشید

---

@mdgi
تمرین است. شکل یک کره است که مخروطی در آن قرار گرفته.
شکل را در سوال قرار خواهم داد.
خودم فکر کردم و حل کردم، اما مطمئن نیستم که درست است یا نه.
ارتفاع استوانه h است و شعاع دایرهR است.
پاسخ من انتگرال 0 تا h ، پی در R به توان 2، منهای (r/h .x) به توان 2 شده!

Answer 1

اگردومنحنی زیر را (که یکی نیم دایره و یکی دیگر متشکل از سه پاره خط است) حول محور $X$ دوران دهیم ، ناحیه گفته شده در صورت سوال بدست میآید.

فرض کنیم معادله دایره $y=f(x)$ و معادله خط بشود $y=g(x)$. حال طبق فرمول واشربرای حجم داریم:

$$V=\pi \int_{0}^{h}(f(x)^2-g(x)^2)dx+\pi \int_{h}^{2R}f(x)^2dx$$ که میتوان معادلات دایره و خط را در فرمول بالا گذاشت و جواب را بدست آورد اما روش راحت تر این است که انتگرال اول را باز کنیم: $$V=\pi \int_{0}^{h}f(x)^2dx+\pi \int _{h}^{2R}f(x)^2dx-\pi \int_{0}^{h}g(x)^2dx$$ که مساوی میشود حجم کره منهای مخروط.