چرا حاصل ضرب مختلط سه بردار که روی یک صفحه واقع باشند ، صفر میشود؟

Question

چرا حاصل ضرب مختلط سه بردار که روی یک صفحه واقع اند ، مساوی به صفر میشود ، اگر استدلال هندسی و جبری باهم باشه بسیار خوب میشه و حد اقل یکی ازین روش ها هم کافی خواهد بود

Answer 1

تعریف ضرب مختلط سه بردار چه بود؟ $$a\cdot (b\times c)$$ که $\cdot$ ضرب داخلی و $\times$ ضرب خارجی است. حاصلِ ضرب خارجی دو بردار، همواره بر هر دوی آن دو بردار عمود است. پس $b\times c$ بر صفحه شامل دو بردارِ $b$ و $c$ عمود است. اما در فرض داریم که $a$ نیز در این صفحه است، پس بر $a$ نیز عمود است. اکنون به یاد آورید که ضرب داخلی دو بردار عمود برهم صفر است.