Question

سه نقطه‌ای که در صفحه مختلط با ریشه‌های معادله: $$ z^{3} -3p z^{2} +3qz-r=0$$ متناظرند رأس‌های یک مثلث‌اند.

الف) ثابت کنید که مرکز ثقل مثلث نقطه متناظر با $p$ است.

ب) ثابت کنید که $ABC$ مثلثی متساوی الاضلاع است اگر و فقط اگر: $$p^{2} =q$$

Answer 1

اگر ریشه های این معادله را با $z_1,z_2,z_3$ و مرکز ثقل را با $z_0$ نشان دهیم و این نقاط متناظر رأسهای مثلث باشند بنابه قضیۀ ویت داریم:

$z_0= \frac{z_1+z_2+z_3}{3}= \frac{-(-3p)}{3}= \frac{3p}{3}=p$

از طرفی دیگر مثلث متساوی الاضلاع است اگر و تنها اگر:

$z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1$

$\Leftrightarrow (z_1+z_2+z_3)^2-2(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1$

$ \Leftrightarrow (z_1+z_2+z_3)^2=3(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1) \Leftrightarrow (- \frac{-3p}{1})^2=3 \frac{3q}{1} \Leftrightarrow 9p^2=9q \Leftrightarrow p^2=q$

$ \Box $