اگر $ \prod_{i=I} M_{i} $ پروژکتیو باشد آنگاه تک تک $ M_{i} $ پروژکتیو است اما عکس آن درست نیست پس قضیه دوشرطی نداریم.
اثبات حکم اول دقیقا مشابه اثبات پروژکتیو بودن $ \coprod_{i=I} M_{i} $ پروژکتیو بودن تک تک $ M_{i} $ را نتیجه می دهد، است. میتوانید به قضیه ی $2$ در فصل $8$ جبر پیشرفته .پورنکی و یاسمی مراجعه نمایید.
اما مثال نقض برای عکس حکم:
قرار میدهیم $ M_{i} = \mathbb Z$ و چون به عنوان $ \mathbb Z$ مدول داریم $\mathbb Z=(1)$ لذا آزاد است و طبق قضیه ی$3$ در فصل $8$ جبر پیشرفته .پورنکی و یاسمی، پروژکتیو است. اما $ \prod_{i=I} \mathbb Z$ آزاد نیست (اثبات را میتوانید اینجا ببینید) و چون حوزه ی ایده آل اصلی است لذا پروژکتیو نیست. چون در غیر اینصورت طبق تمرین $4$ همون فصل باید آزاد باشد که نیست.
