بنام خدا.دربسط دو جمله ای نیوتن اگر n زوج باشد تعداد جملات فرد وجمله وسط $\binom{n}{ \frac{n}{2} }$واگر n فرد باشد تعداد جملات زوج و دو جمله وسط مساوی خواهیم داشت $\binom{n}{ \frac{n-1}{2} } = \binom{n}{ \frac{n+1}{2} }$
حال ثابت می کنیم که ضرایب بسط دو جمله ای نیوتن دنباله ای صعودی تا جمله وسط وسپس نزولی می شود.
اگر $1 \leq k \leq n$ در این صورت داریم $ \frac{ \binom{n}{k} }{ \binom{n}{k-1} } = \frac{n-k+1}{k} $ برای این کسر داریم
اگر $k < n-k+1$ درنتیجه داریم$k < \frac{n+1}{2} $ یعنی برای چنین مقادیری جملات صعودی وبالعکس واگر
$k > n-k+1$ در نتیجه داریم$k > \frac{n+1}{2} $ یعنی برای این مقادیر k جملات نزولی وباالعکس .
چون در ترکیب جملات $ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} $ بنابراین اگر nزوج باشد بزرگترین ضریب$ \binom{n}{ \frac{n}{2} } $ واگر n فرد باشد بزرگترین ضریب $ \binom{n}{ \frac{n+1}{2} } $ خواهد بود
