جمع تعداد عضوهای زیرمجموعه های یک مجموعه را چگونه بدست آوریم؟

Question

مجموعهٔ $A=\lbrace 1,2,3,4,5,\dots,50\rbrace$ را در نظر بگیرید. مجموع اندازهٔ تمام زیرمجموعه‌های مجموعهٔ $A$ را پیدا کنید.

تلاش خودم: در حل سوال باید به برهان استقرایی تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه توجه کرد... برای به دست آوردن تعداد زیر مجوعه ها از فرمول ۲ به توان n استفاده می کنیم و تعداد زیر مجموعه ها برابر ۲ به توان ۵۰ می شود... برای مجموع اندازه ی تمام زیر مجوعه ها؟؟؟؟

Answer 1

بنام خدا. اندازهٔ یک مجموعه را با $|A|$ نشان می‌دهند و یعنی تعداد عضوهای آن مجموعه. درمثال بالا صورت مسأله $|A|=50$. حال اگر تعداد زیرمجموعه‌های $k$ عضوی از مجموعه $A$ راخواسته باشیم $\binom{50}{k}$ خواهدبود. مثلاُ تعداد زیرمجموعه‌های 2 عضوی از مجموعه $A$ برابر است با $\binom{50}{2}=1225$. برای آنکه مجموع اندازه تمام زیرمجموعه‌های 2 عضوی را بدست آوریم، چون هر کدام 2 عضو دارد، عدد 1225 را در 2 ضرب می‌کنیم، $2\times 1225=2450$. بنابراین مجموع اندازه زیرمجموعه‌های $k$ عضوی برابر است با $k\binom{50}{k}$. در کل مجموع اندازه همهٔ این زیرمجموعه‌ها برابر است با

$$0\binom{50}{0}+1\binom{50}{1}+2\binom{50}{2}+\dots+50\binom{50}{50}$$

که اولی تهی است که اندازه آن صفر است و آخری خود مجموعه $A$ است که اندازه آن 50 است.