فرض کنید $ I $ یک ایده آل تک جمله ای $ Borel fixed $ باشد
برای اثبات بورل تایپ بودن کافیست ثابت کنیم برای هر $u \in I $ که و هر $1 \leq j < i \leq n $ که $ a= v_{i} (u) $ داریم $ t \geq 0 $ موجود است که $ x_{j}^{t} ( \frac{u}{x_{i}^{a}} ) \in I $ است.
اگر $ a=0 $ چیزی برای اثبات نداریم فرض کنید $ a>0 $باشدچون $ I $ یک ایده آل $ Borel fixed $ است لذا تحت عمل ماتریس بالایی ابتدایی که درایه ی $ a_{ji} =1 $ است ثابت می ماند لذا داریم
$ \alpha (u)= x_{1}^{ a_{1} } x_{2}^{a_{2}}...(x_{j}+x_{i})^{a} ... x_{n}^{a_{n}} $
پس $\alpha (u)=(x_{j}+x_{i})^{a}\frac{u}{x_{i}^{a}}= \sum_{k=1}^a {\binom{a}{k}} x_{j}^{k} x_{i}^{a-k}\frac{u}{x_{i}^{a}}=\sum_{k=1}^a {\binom{a}{k}} x_{j}^{k} \frac{u}{x_{i}^{k}} $ در $ I $ قرار داردو از آنجایی که $ I $ ایده آلی تک جمله ای است لذا هر عضو محمل این چند جمله ای در $ I $ قرار دارد و برای اینکه $x_{j}^{k} \frac{u}{x_{i}^{k}} $ عضوی از محمل باشد باید ضریبش صفر نباشد.
اگر میدان را با مشخصه ی$0$ در نظر بگیریم تک تک ${\binom{a}{k}} $ صفر نیستند لذا $x_{j}^{k} \frac{u}{x_{i}^{k}} \in I $ وکافیست قرار دهیم $k=a$ و حکم در این حالت اثبات می شود.($t=a$ است)
برای حاتی که مشخصه ی میدان صفر نیست با استقرا روی $a$ حکم را ثابت میکنیم پایه ی استقرا را همون $a=0$ میگیریم و فرض حکم برای تمام $v$ ها که $v_{i} (v)= a^{'} < a $بر قرار باشد نشان میدهیم برای $a$ نیز برقرار است.
طبق مراحل بالا $\alpha (u)= \sum_{k=1}^a {\binom{a}{k}} x_{j}^{k} \frac{u}{x_{i}^{k}} $ وطبق قضیه ای که در آخر بیان میکنیم حداقل به ازای یک $k >0 $ مقدار ${\binom{a}{k}} $ صفر نیست لذا $ x_{j}^{k} \frac{u}{x_{i}^{k}} $ در محمل چند جمله ای قرار دارد لذا $x_{j}^{k} \frac{u}{x_{i}^{k}}$در$ I $ است قرار میدهیم $v=x_{j}^{k} \frac{u}{x_{i}^{k}} $ لذا $v_{i} (v)= a^{'} = a -k <a$ پس طبق فرض استقرا
$t^{'} $ وجود دارد بطوریکه داریم :
$$ x_{j}^{t^{'}} ( \frac{v}{x_{i}^{a^{'}}} ) = x_{j}^{t^{'}}x_{j}^{k}\frac{u}{x_{i}^{k}} \times \frac{1}{x_{i}^{a^{'}}} =x_{j}^{t^{'}+k}\frac{u}{x_{i}^{k+a^{'}}}=x_{j}^{t}\frac{u}{x_{i}^{a}}$$
که در آن $t= t^{'}+k$ است. و حکم ثابت شد.
اگر مشخصه ی میدان برابر $p$ باشد هر عنصر را میتوانیم بصورت $ \sum_i a_{i} p^{i} $ بنویسیم که $ a_{i}$ ها از $ p $ کمتر هستند(درواقع همون در مبنای $p $ نوشتن است)
در سوال بالا فرض کنید $a= \sum_i a_{i} p^{i} $ اگر $a_{j} \neq 0 $ و قرار دهیم $ k=p^{j} $ آنگاه طبق رابطه ی
$${\binom{a}{k}}= \prod_i {\binom{a_{i}}{k_{i}}} \ mod \ p $$
و از آنجایی که $ k= p^{j} =0 \times p+0 \times p^{2} +... 1 \times p^{j}+0 \times ... $ داریم:
${\binom{a}{k}}={\binom{a_{j}}{1}} \ mod \ p =a_{j} \neq 0$ لذا برای این $k $ مقدار $ {\binom{a}{k}} $ صفر نیست.
