هرگز پاسخی، گزارهٔ ریاضی، الگوریتم یا ایدهای از غیب و یا یکدفعهای بوجود نمیآید و یا اینطور نیست که هر فردی قبل از حل کردن یک سوال باید شبیهش یا نکتهاش را در کتابی، یا جایی قبلا خواندهباشد. منظور از تلاش کردن برای حل یک پرسش این است که شروع کنیم چند مثال امتحان کنیم و الگو و ریتم و مشاهدهای که میبینیم را استفاده کنیم و حدسی بزنیم و سپس به دنبال اثبات یا رد این حدس برآئیم. اگر درست بود که حل را یافتهایم، اگر خیر دوباره تلاش میکنیم. فرض کنیم من دانشجوی دوم دبیرستان هستم و دنبالههای حسابی را امروز در کلاس ریاضی آموختهام. پس میدانم یک دنباله یعنی یک رشته از اعداد که مرتب شدهاند و مانند دانشآموزها که با آمار کلاسی ترتیب دادهشدهاند آماری (اندیسی) دارند. به طور نمادین (سمبلی symbolic) اعضای این دنباله را با یک حرف کوچک انگلیسی و یک عدد زیرنویسشده برایش نمایش میدهیم مانند $a_i$. پس اگر دنبالهٔ اعداد فرد مثبت را در نظر بگیریم داریم $a_1=1$ یعنی جملهٔ نخست دنبالهمان ۱ است. به همین ترتیب داریم $a_2=3$، یا $a_{10}=19$.
یک دنبالهٔ حسابی از اضافه شدن یک عدد ثابت به جملههایش ایجاد میشود. یعنی با فرض اینکه این مقدار ثابت را با $d$ نمایش دهیم، اگر جملهٔ $i$اُم برابر با $x$ باشد، آنگاه جملهٔ بعدی یعنی $(i+1)$اُم برابر با $x+d$ است. این عدد ثابت را قدر نسبتِ دنبالهمان مینامیم. خیلی راحت دنبالهٔ اعداد فرد مثبت هم یک نوع دنبالهٔ حسابی است که جملهٔ شروعش ۱ است و قدر نسبتش ۲ است، چون هر عدد فرد مثبتی برابر است با عدد فرد مثبتِ قبلیاش بعلاوهٔ ۲. بعضی وقتها جملهٔ شروع را با شماره (آمار یا اندیس) یک شروع میکنند، بعضی وقتها با صفر. پس ممکن است من بنویسم:
$$a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_3=5,\quad a_4=7,\quad\cdots$$
در حالیکه فرد دیگری بنویسد
$$a_0=1,\quad a_1=3,\quad a_2=5,\quad a_3=7,\quad\cdots$$
هیچ اشکالی در هیچ یک نیست و اتفاقا بعدها با این روبرو خواهید شد که در زبانهای برنامهنویسی یا نرمافزارهای مختلف این تفاوت سلیقه مهم میشود. به هر حال تفاوت اندیسها در یک واحد میشود که میتوانید خودتان را با آن سازگار کنید. در اینجا من اندیسها را از ۱ میگذارم.
پس برای داشتن یک دنبالهٔ حسابی نیازی نیست من همهٔ بینهایت اعضایش را به شما بدهم (که اتفاقا ممکن هم نیست)، بلکه اگر فقط جملهٔ شروع و قدر نسبت آن را به شما بدهم، شما هر چیزی از این دنباله که بخواهید را میتوانید بسازید.
اکنون فرض میکنم یک دنبالهٔ حسابی دلخواه با جملهٔ شروع $a_1$ و قدر نسبت $d$ دارم. چون میخواهم در مورد هر دنبالهٔ حسابیِ دلخواهی صحبت کنم باید پارامترهایش را نمادین در نظر بگیرم و با آنها رفتار کنم. سوال چیست؟ یک عدد طبیعی دلخواهی به ما میدهند، مثلا ۱۰ یا ۵ یا ۱۰۰، چون باز میخواهیم در مورد حالت دلخواه صحبت کنیم، این عدد را هم نمادین میگیرم و با $n$ نمایش میدهم. پس یک عدد $n$ میگویند و از ما میذخواهند که $n$تا جملهٔ نخست دنبالهٔ حسابیمان را در هم ضرب کنیم و حاصل را به آنها برگردانیم. ما دوست داریم یک فرمول داشتهباشیم. خیلی هم عالی، ولی آیا فرمول با اجی مجی میآید؟ خیر. چگونه میآید؟ محاسبه میکنند. چگونه؟ کار سختی نیست، دقیقا همان چیزی که گفته شدهاست را انجام میدهند. برای ضرب کردن $n$ جملهٔ نخستین، ابتدا باید این $n$تا جمله را داشته باشم. پس بیاییم این $n$تا جمله را بنویسیم.
$$\begin{align}
a_1 &= a_1\\
a_2 &= a_1+d\\
a_3 &= a_2+d = (a_1+d)+d = a_1+2d\\
a_4 &= a_3+d = (a_1+2d)+d = a_1+3d\\
a_5 &= a_4+d = (a_1+3d)+d = a_1+4d\\
\vdots &= \vdots
\end{align}$$
چه چیزی میبینیم؟ این را میبینیم که جملهٔ $i$اُم برابر است با $a_1$ بعلاوهٔ $(i-1)$برابرِ $d$. پس با نوشتن (و دقیقا با نوشتا نه با علم غیب) دیدیم که $a_i=a_1+(i-1)d$ و توجه داریم که وقتی $i=1$ داریم $i-1=0$ پس فرمولِ $a_1+(i-1)d$ دقیقا خودِ $a_1$ را به ما برمیگرداند. پس تا اینجا عددهایی که میخواهیم ضرب کنیم، عددهای زیر هستند:
$$a_1,\quad a_1+d,\quad a_1+2d,\quad a_1+3d,\quad\cdots,\quad a_1+(n-1)d$$
شاید در همین لحظه سریع ایدهٔ شاهکاری به ذهنم نرسد که جواب را برای $n$-ِ کلی معرفی کند، اما برای چند $n$کوچک میتوانم فرمولی ارائه کنم. شاید ندانید ولی خیلی از مسائل بزرگ و مشهور دنیا که برای حل آنها جایزهٔ آبل یا مدال فیلدز دادهاند همان اول کار یکضرب حل نشدهاند بلکه اول یک ریاضیدان یک جواب برای حالت خاصی دادهاست، سپس فرد دیگری یک جواب برای حالت خاص دیگری، سپس فرد سومی این دو جواب را میبیند و چیز مشترکی در بین آنها میبیند و جوابی میدهد که هر دو حالت خاص را پوشش میدهد و سپس نفر چهارمی این جواب را تعمیم میدهد تا یک روز حالت کلی هم حل میشود. خود تاریخ محاسبهٔ عدد $\pi$ یا ارائه شدن فرمولهای مساحت شکلهای هندسی را هم نگاه کنید. گاهی شما در یک امتحان تشریحی هستید یا در مسابقات ریاضی، حل قسمت جزئی، نمرهٔ تمام سوال را ندارد ولی مطمئنا نمرهٔ قسمتی را که متوجه شدهاید را دارد و میتواند برایتان سرنوشتساز شود. پس هرگزِ هرگز جلوی سوالی را خالی نگذارید. همیشه چیزی که فکر میکنید را بنویسید. برای نمونه میتوانم بنویسم که اگر $n=2$ آنگاه فرمول $a_1^2+da_1$ را داریم یا اگر $n=3$ با اتحاد جمله مشترک دارم $(a_1+d)(a_1+2d)=a_1^2+3da_1+2d^2$ و در نتیجه حاصلضرب ۳ جملهٔ نخست از دنبالهٔ حسابی با فرمول $a_1^3+3da_1^2+2d^2a_1$ قابل محاسبه است.
اکنون کمی بیشتر فکر کنیم. چه چیزی اینجا نوعی نظم دارد؟ $d$، $2d$، $3d$ و ... اگر فقط این قسمتها را داشتیم و بعلاوهٔ $a_1$ را نداشتیم آنگاه مسأله ساده میبود.
$$d\times 2d\times 3d\times \cdots\times (n-1)d=(1\times 2\times 3\times \cdots\times (n-1))d^{n-1}=(n-1)!d^{n-1}$$
آیا میتوانیم به نوعی کلکی، حقهای، ترفندی پیاده کنیم که حاصلضربِ اصلیمان را به نوعی به شکی دربیاریم که باز هم بشود از فاکتور گرفتن و فاکتوریل به فرمول کوتاهی برسیم؟ بیاییم تکتکِ جملهها را بر $d$ تقسیم کنیم.
$$\frac{a_1}{d},\quad \frac{a_1}{d}+1,\quad \frac{a_1}{d}+2, \cdots, \frac{a_1}{d}+(n-1)$$
چیزی که میبینیم جالب است. اگر این فرضِ اضافه را میداشتیم که $\frac{a_1}{d}$ عددی صحیح مثبت شود مثلا $m$ آنگاه در واقع داشتیم که جملهٔ $i$اُم از دنباله برابر است با $d$ ضربدر $m+(i-1)$ ($d$ را ضرب کردیم چون پس از تقسیم به شکل بالا درآمده بود). پس
$$\begin{align}
a_1\times a_2\times \times \cdots \times a_n &= d(m)\times d(m+1)\times \cdots \times d(m+n-1)\\
&= d^n(m\times (m+1)\times \cdots \times (m+n-1))\\
&=d^n\frac{(m+n-1)!}{(m-1)!}
\end{align}$$
پس اول برای فقط $n$های کوچک مانند ۱ و ۲ و ۳ فرمول دادیم. سپس برای $n$-ِ دلخواه ولی محدود به شرط اینکه عددِ $d$ عددِ $a_1$ را بشمارد فرمول دادیم. همینگونه که میبینید، با نایستادن و دنباله دادن به فکر کردن و نوشتن پیشرفت میکنیم. این سیر در واقع در پژوهشهایی که بعدها قرار است در دانشگاه یا کارتان انجام دهید نیز تکرار خواهند شد و در سیر تاریخی تکامل دانش هم همین گونه بودهاست.
تا اینجا با دانش دبیرستانی جلو رفتیم. اکنون برایم سوال میشود که آیا میتوانم فرمول بالا را به حالتی که $\frac{a_1}{d}$ عدد طبیعی نیست هم تعمیم بدهم؟ آیا ضربکردن یک عدد غیر طبیعی در یک واحد بیشتر و دو واحد بیشتر تا چند واحد بیشتر نیز مانند فاکتوریل برای اعداد طبیعی نام خاصی دارد؟ آیا قبلا کسی به این حالت نگاهی انداختهاست؟ اینجا است که به کتابخانه یا اینترنت یا پرسش از آموزگار یا استاد خودم روی میآورم. جستوجو میکنم که آیا چیزی شبیه به فاکتوریل ولی برای عددهای غیر طبیعی داریم؟ پاسخ بلی است! تابع گامای اویلر. در همین سایت پیرامون این تابع اطلاعاتی وجود دارد. برای نمونه ضابطه و نمودار این تایع در این پست آوردهشدهاست: (اینجا کلیک کنید). تابع گامای اویلر که برای هر عدد مختلط یا قسمت حقیقیِ مثبت تعریفشدهاست با یک انتگرال تعریف میشود. مسلما به عنوان یک دانشجوی دوم دبیرستانی نه عددهای مختلط را میشناسم و نه انتگرال را. چیزی که برای من قابل درک است این است که اعداد مختلط اَبَرمجموعهای از اعداد حقیقی است، پس به طور ساده یک تابع به من دادهاند که دامنهٔ آن همهٔ عددهای حقیقیِ مثبت را در بر دارد. چون انتگرال هم نمیدانم پس محاسبهکردنِ مستقیم این تابع را هم نمیتوانم الآن انجام بدهم ولی خوشبختانه قبل از اتمام دبیرستان با انتگرال آشنا خواهم شد پس کافی است سال بعد دوباره به تعریف تابع گاما نگاهی بیندازم. ولی برای الآن میتوانم بدانم که تابع گاما را با $\Gamma$ حرفِ گامای بزرگ از حروف الفبای یونانی نمایش میدهند و خیلی از نرمافزارها میتوانند این تابع را برایم محاسبه کنند. برای نمونه میتوانم به سایتی که نسخهٔ برخطی از نرمافزار SageMath را گذاشتهاست (اینجا کلیک کنید) بروم و تایپ کنم gamma(4)، سپس روی دکمهٔ Evaluate کلیک کنم تا مقدار تابع گامای اویلر را در نقطهٔ ۴ پیدا کنم. حاصل میشود ۶ یعنی $3!$. این دفعه gamma(5) را امتحان میکنم که ۲۴ میشود یعنی $4!$. تعجب نکنید برای هر عددِ طبیعی مانند $n$ داریم $\Gamma(n)=(n-1)!$ که البته قرارداد میکنیم که $0!=1$. این تابع تعمیمِ فاکتوریل است. ولی توجه کنید که برای یک عدد حقیقی که طبیعی نیست نداریم که $\Gamma(x)$ برابر با حاصلضرب این عدد و عددهای یکفاصله-یکفاصله کمتر بشود. چیزی که داریم این است که حصلضرب عددهای یکفاصله-یکفاصله کمتر بین یک عدد حقیقی تا یک تعداد متناهی گام قبلترش برابر میشود با
$$x\times (x+1)\times\cdots \times (x+n)=\frac{\Gamma((x+n)+1)}{\Gamma((x-1)+1)}$$
هورا! این چیزی هست که دقیقا نیاز داشتیم تا مهرهٔ آخر را هم سوار کنیم. کافیاست در بالا به جایِ $x$ بگذاریم $\frac{a_1}{d}$ و به جای $n$ بگذاریم $n-1$. آنگاه داریم؛
$$\begin{align}
a_1\times a_2\times \times \cdots \times a_n &= d(\frac{a_1}{d})\times d(\frac{a_1}{d}+1)\times \cdots \times d(\frac{a_1}{d}+n-1)\\
&= d^n(m\times (\frac{a_1}{d}+1)\times \cdots \times (\frac{a_1}{d}+(n-1)))\\
&=d^n\frac{\Gamma((\frac{a_1}{d}+(n-1))+1)}{\Gamma((\frac{a_1}{d}-1)+1)}\\
&=d^n\frac{\Gamma(\frac{a_1}{d}+n)}{\Gamma(\frac{a_1}{d})}
\end{align}$$
بیاییم چند تا مثال انجام بدهیم.
۱. دنبالهٔ اعداد فرد همانطور که در ابتدای اندیشهمان دیدیم یک دنبالهٔ حسابی با جملهٔ شروعِ ۱ و قدر نسبت ۲ است. چون $2\nmid 1$ (یعنی عدد ۲ عدد ۱ را نمیشمارد) پس باید از تابع گاما کمک بگیریم. حاصلضربِ $n$ عدد فردِ نخست برابر میشود با
$$1\times 3\times 5\times \cdots \times (2n-1)=2^n\frac{\Gamma(\frac{1}{2}+n)}{\Gamma(\frac{1}{2})}$$
بیاییم درستیِ رابطهمان را برای $n=10$ چک کنیم. با کمک سایتِ برخطِ نرمافزار رایگان SageMath دستور زیر را مینویسیم:
(2^10)*gamma(1/2+10)/gamma(1/2)
حاصل عدد ۶۵۴۷۲۹۰۷۵ میشود. یک بار عددهای فرد از ۱ تا ۱۹ را در هم ضرب میکنیم. این کار را هم با همان SageMath با دستور زیر انجام میدهیم.
prod((2*i-1) for i in (1..10))
دستور بالا میگوید مقدارهای $2i-1$ را برای $i$ از ۱ تا ۱۰ در هم ضرب کن. که دوباره همان عدد ۶۵۴۷۲۹۰۷۵ را نشان میدهد.
الآن نه تنها پاسخ را پیدا کردیم بلکه تعداد زیادی مطلب و ترفند و ایده یاد گرفتیم و همینطور چون حاصل فکر خودمان بود و با دست و پنجه نرم کردن با مسأله به حل رسیدیم، لذت ویژهای را هم برایمان دارد.
۲. دنبالهٔ اعداد زوج هم مانند اعداد فرد یک دنبالهٔ حسابی است و دقیقا با قدر نسبت یکسان ولی با جملهٔ شروع متفاوت. دست بر قضا این بار $d\mid a_1$ پس $m=\frac{2}{2}=1$ و در نتیجه حاصلضربِ $n$ عدد زوجِ نخست برابر میشود با
$$2\times 4\times 6\times \cdots \times (2n)=2^n\frac{(1+n-1)!}{(1-1)!}=2^n(n!)$$
دوباره برای $n=10$ این فرمول را امتحان کنیم.
(2^10)*factorial(10)
prod((2*i) for i in (1..10))
هر دو عدد ۳۷۱۵۸۹۱۲۰۰ را میدهند. توجه کنید که در نرمافزار SageMath برای فاکتوریل نباید از علامت تعجب استفاده کنید، بلکه عددی که میخواهید فاکتوریلاش را بگیرید را باید درون پرانتز دستورِ factorial قرار دهید.
