Question

حاصل عبارت $ (1-1+1-1+1-1+...) $ چیست؟میدانم اگر زوج تا عدد 1 داشته باشیم٬حاصل برابر 0 میشود و همچنین میدانم اگر فرد تا عدد 1 داشته باشیم٬حاصل برابر 1 میشود.اما مشکل اینجاست که نمیدانم چه تعداد عدد 1 در عبارت بالا وجود دارد.

Answer 1

زوج و فرد بودن برای یک عدد طبیعی (صحیح) تعریف می‌شود و اعداد طبیعی (صحیح) همگی متناهی هستند، زمانی که می‌گوئید بی‌انتها، نامتناهی و از این قبیل، دیگر با یک عدد طبیعی یا صحیح روبرو نیستید!

اگر منظورتان از جمعی که نوشتید یک جمع متناهی است یعنی $\sum_{i=1}^na_i$ که $n\in\mathbb{N}$ یک عدد طبیعی است و $a_i=(-1)^{i+1}$، آنگاه بلی با زوج و فرد بودن $n$ حاصل را بحث می‌کنید. ولی اگر منظورتان $\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ آنگاه دیگر اصلا معنا ندارد که بگوئید چند تا عدد اینجا هست یا تعداد زوج است یا فرد یا هر چیز دیگری مرتبط با عددهای متناهی.

در حالتی که یک جمع به شکل سری نامتناهی یک دنباله دارید باید توجه کنید که چند حالت دارد:

1. سری همگرا به یک عدد است.
2. سری واگرا به مثبت یا منفی بینهایت است.
3. سری واگرا است ولی نه به مثبت یا منفی بینهایت.

در واقع سری یا جمع نامتناهی را معنای واقعی‌اش «حد» یک دنباله است که جمله‌های این دنباله «مجموع‌های جزئی» یک دنبالهٔ دیگر هستند. پس سری نامتناهی به معنای یک جمع معمولی نیست به معنای یک حد است. اکنون بیایید جمع نامتناهی پرسش شما را با معنای واقعی‌اش باز کنیم. $$\begin{array}{ll} \sum_{i=1}^\infty (-1)^{i+1} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\big(1+(-1)^{n+1}\big) \end{array}$$ اکنون اگر با مفهوم حد دنباله‌های آشنا باشید می‌دانید که دنبالهٔ آخر حد ندارد و حالت سوم برایتان رُخ داده‌است.