به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
112 بازدید
در دبیرستان توسط rezasalmanian (746 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید. از روابط بین مجموعه کسرهای نامتناهی استفاده کردم اما به جواب نرسیدم.

$$ \frac{1}{3}- \frac{1}{9}+ \frac{1}{27}- \frac{1}{81} +... $$
مرجع: آزمون مبتکران
توسط AmirHosein (14,031 امتیاز)
+3
@rezasalmanian عنوان و مرجع پرسش را ویرایش کنید. پست زیر می‌تواند راهنمای مناسبی پیرامون عنوان و مرجع‌نویسی درست برایتان باشد. https://math.irancircle.com/11973

1 پاسخ

+5 امتیاز
توسط m.t.riazi (356 امتیاز)
ویرایش شده توسط m.t.riazi

بنام خدا

از صورت سوال میشه گفت که از ما مجموع جملات یک دنباله هندسی با جمله اول $ \frac{1}{3} $ و قدرنسبت $ \frac{-1}{3} $ خواسته شده است. ازطرفی چون قدرمطلق قدرنسبت کمتر از یک می شود و تعداد جملات نامتناهی است پس می توان از رابطه حدمجموع استفاده کرد؛

$S= \frac{ a_{۱} }{1-q}= \frac{ \frac{1}{3} }{1-(- \frac{1}{3} )} = \frac{1}{4} $

این روش می تواند جواب را مشخص کند اما با توجه به برچسب ریاضی_راهنمایی که مشخص شده، امیدوارم که قابل استفاده باشد.

روش دوم : راه دیگر برای پاسخ به این سوال که مناسب ریاضی راهنمایی می باشد؛

کافی است عبارت را برابر T درنظر گرفته :

$T= \frac{1}{3}- \frac{1}{9} + \frac{1}{27} - \frac{1}{81}+... $

سپس دوطرف این تساوی را در معکوس نسبت ثابت بین جملات این مجموع ضرب می کنیم

(یعنی معکوس $ \frac{-1}{3}$ که میشه $-3$)

$-3T=-1+ \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{27} - \frac{1}{81} +...$

همانطور که مشخص است در سمت راست تساوی، دوباره عبارت $T$ ظاهر شد، پس داریم؛

$-3T=-1+T \rightarrow -4T=-1\rightarrow \\ T= \frac{1}{4} $

و درنهایت:

$T= \frac{1}{3}- \frac{1}{9} + \frac{1}{27} - \frac{1}{81}+... = \frac{1}{4} $

توسط Elyas1 (2,233 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+3
راه دومتان به نظرم صحیح نیست. فکر کنم بتوان دلایلی را که برای پرسش زیر آورده شده را برای راه حل شما آورد.
https://math.irancircle.com/19946/
توسط AmirHosein (14,031 امتیاز)
+4
@Elyas1 ایرادتان به‌جاست. با فرض اینکه $T$ موجود و متناهی است، آنگاه روش دوم درست است. پس در واقع روش دوم @m.t.riazi درستی‌اش مشروط به درستیِ فرض انجام‌شده‌است که البته بنا به مطلب اشاره‌شده در روش نخست‌شان دلیل برای برقراری فرض هست.
توسط rafig256 (483 امتیاز)
+1
به نظر من روش دوم نیز کاملا صحیح است. این روش مرسوم برای حل سری های همگراست. خود فرمولی که در روش اول استفاده شده است با همین روش اثبات می شود.
توسط AmirHosein (14,031 امتیاز)
+3
@rafig256 چیزی که اشاره شد دقیقا به همین نکته اشاره دارد که «با فرض همگرا به عدد متناهی بودن سری، آنگاه روش دوم». پس روش دوم بدون اثبات همگرایی سری، چیزی را ثابت نمی‌کند و حتی می‌تواند نتیجهٔ اشتباه بدهد. اثبات اینکه سری‌های هندسی با قدرنسبت با قدرمطلق کمتر از یک همگرا هستند از روش دوم شما نتیجه نمی‌شود. آیا در روش دوم شما چیزی که این شرط را نتیجه بدهد می‌بینید؟ اگر به همان پستی که آقای @Elyas1 در دیدگاهشان اشاره کردند نگاه می‌کردید می‌توانستید ببینید که روش دوم‌تان به تنهایی الزاما نتیجهٔ درست نمی‌دهد و آن پست یک مثال نقض برایتان خواهد بود. غیر از آن خود سری‌های هندسی با قدر نسبت دیگر را در نظر بگیرید، آنها نیز مثال نقض برای درست بودن روش دوم‌تان به تنهایی خواهند شد. برای نمونه سری هندسی با شروع ۲ و قدر نسبت ۲ را در نظر بگیرید. با روش دوم شما (زمانی که به تنهایی بخواهید استفاده‌اش کنید بدون اینکه اولش چک کنید که اصلا همگرا است یا خیر) به شما می‌گوید که سری برابر است با منفی دو!
توسط rafig256 (483 امتیاز)
+3
متوجه منظور شما شدم. درست می فرمایید

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...