بنام خدا
از صورت سوال میشه گفت که از ما مجموع جملات یک دنباله هندسی با جمله اول $ \frac{1}{3} $ و قدرنسبت $ \frac{-1}{3} $ خواسته شده است.
ازطرفی چون قدرمطلق قدرنسبت کمتر از یک می شود و تعداد جملات نامتناهی است پس می توان از رابطه حدمجموع استفاده کرد؛
$S= \frac{ a_{۱} }{1-q}= \frac{ \frac{1}{3} }{1-(- \frac{1}{3} )} = \frac{1}{4} $
این روش می تواند جواب را مشخص کند اما با توجه به برچسب ریاضی_راهنمایی که مشخص شده، امیدوارم که قابل استفاده باشد.
روش دوم : راه دیگر برای پاسخ به این سوال که مناسب ریاضی راهنمایی می باشد؛
کافی است عبارت را برابر T درنظر گرفته :
$T= \frac{1}{3}- \frac{1}{9} + \frac{1}{27} - \frac{1}{81}+... $
سپس دوطرف این تساوی را در معکوس نسبت ثابت بین جملات این مجموع ضرب می کنیم
(یعنی معکوس $ \frac{-1}{3}$ که میشه $-3$)
$-3T=-1+ \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{27} - \frac{1}{81} +...$
همانطور که مشخص است در سمت راست تساوی، دوباره عبارت $T$ ظاهر شد، پس داریم؛
$-3T=-1+T \rightarrow -4T=-1\rightarrow \\\ T= \frac{1}{4} $
و درنهایت:
$T= \frac{1}{3}- \frac{1}{9} + \frac{1}{27} - \frac{1}{81}+... = \frac{1}{4} $
