پیدا کردن الگو و فرمول دنبالۀ عددی $\lbrace 2,4,6,9,12,16,20,25,30,36,42,49,... \rbrace$

Question

پیدا کردن الگو و فرمول دنبالۀ عددی زیر:

$$\lbrace 2,4,6,9,12,16,20,25,30,36,42,49,... \rbrace$$

$a_1=2$

$a_2=4$

$a_3=6$

$a_4=9$

$a_5=12$

$a_6=16$

$a_7=20$

$a_8=25$

$a_9=30$

$a_{10}=36$

$a_{11}=42$

$a_{12}=49$

Answer 1

بنام خدا .اگراین دنباله را از عدد 2 شروع کنیم جملات شماره زوج مربع کامل هستند مثلا جمله ششم عدد 16 می باشد که مربع کامل است حال اگر هر دو جمله را در یک دسته قرار دهیم دو جمله هر دسته به شکل $ n^{2} -n و n^{2} $ مثلا دسته چهارم که جمله هفتم و هشتم قرار دارداعداد 16و12 می باشد بنابراین اگر جمله باشماره زوج بخواهیم از فرمول $ ( \frac{n}{2} +1)^{2} $ مثلا اگر جمله هشتم را بخواهیم مقدار n رامساوی 8 قرار میدهیم جواب عدد 25 میشود.

اگر جمله با شماره فرد بخواهیم مثلا جمله پنجم یا هفتم یا... از فرمول $ ( \frac{n+1}{2} +1)^{2} -( \frac{n+1}{2} +1)$ استفاده میکنیم.

Answer 2

سلام خدمت تمام دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی

فرمول زیر جملۀ عمومی دنبالۀ $\{ 2,4,6,9,12,16,20,25,30,36,42,49,... \}$ می‌باشد:

$$\large \frac{1}{8} (-1)^n (1 + 7 (-1)^n + 8 (-1)^n n + 2 (-1)^n n^2)$$

تفاوتی نمی‌کند که شمارۀ جمله‌ای که می‌خواهیم به‌دست آوریم زوج باشد یا فرد، با استفاده از این فرمول می‌توانید تمام جملات دنباله را به‌دست آورید.

Comments

ازکجا بدست اوردی این فرمولو؟

---

@mdgi با استفاده از تابع FindSequenceFunction در نرم افزار Mathematica،این تابع کاربردی در نرم افزار Mathematica می‌تواند جمله عمومی دنباله مورد نظرمان را محاسبه کند.

Answer 3

به نام خدا

$$\lbrace 2,4,6,9,12,16,20,25,30,36,42,49,... \rbrace$$

جملاتِ با شمارۀ جملۀ فرد و زوج را از هم جدا کنید.

$$\lbrace 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... \rbrace$$ $$\lbrace 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... \rbrace$$

جملۀ عمومی هر کدام را جداگانه به‌دست آورید. هر دو، دنباله‌هایی درجۀ دوم هستند. برای به‌دست آوردن جملۀ عمومی اولی، ابتدا اختلاف جملات و اختلافِ اختلاف جملات را به‌دست آورید.

$$\lbrace \boxed{2}, 6, 12, 20, 30, 42, ... \rbrace$$ $$\lbrace \boxed{4}, 6, 8, 10, 12, ... \rbrace$$ $$\lbrace \boxed{2}, 2, 2, 2, ... \rbrace$$

فقط با جملات اول کار داریم. شکل کلی جملۀ عمومی دنبالۀ غیر خطی درجۀ دوم، به‌صورت $t_n = an^2 + bn + c$ است. مقادیر $a$، $b$ و $c$ به این صورت به شکل عقب‌گرد به‌دست می‌آیند:

$2a = 2 \Rightarrow \boxed{a = 1}$

$ \Rightarrow 3(1) + b = 4 \Rightarrow \boxed{b = 1}$

$ \Rightarrow 1 + 1 + c = 2 \Rightarrow \boxed{c = 0}$

اگر کنجکاو هستید که بدانید $2a$، $3a + b$ و $a + b + c$ از کجا آمده‌اند، به‌جای $n$ در $t_n = an^2 + bn + c$، اعداد 1، 2 و 3 را قرار دهید و سپس اختلاف جملات و اختلافِ اختلاف جملات را به‌دست آورید.

جملۀ عمومی $\lbrace 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... \rbrace$ به شکل $n^2 + n$ می‌شود و همچنین اگر دقت کنید متوجه می‌شوید که جملۀ عمومی $\lbrace 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... \rbrace$ برابر است با $(n + 1)^2$.

پس می‌توانید بنویسید:

$$a_n=\begin{cases} k^2 + k &; & n=2k-1\\ (k + 1)^2 &; & n=2k \end{cases}$$

در نتیجه:

$$a_n=\begin{cases} \big(\frac{n + 1}{2}\big)^2 + \big(\frac{n + 1}{2}\big) &; & k = \frac{n + 1}{2} \\ \big(\frac{n}{2} + 1\big)^2 &; & k = \frac{n}{2} \end{cases}$$

دو ضابطه برای دنباله به‌دست آوردیم که یکی برای $n$های فرد و دیگری برای $n$های زوج است. اکنون برای اینکه این دو ضابطه را به یک ضابطۀ کلی تبدیل کنیم، از فرمول $\frac{(A+B)+(B-A)(-1)^n}{2}$ استفاده می‌کنیم. ضابطۀ $n$های فرد را به‌جای $A$ و ضابطۀ $n$های زوج را به‌جای $B$ قرار دهید. با اینکار جملۀ عمومی کلی دنباله به‌دست می‌آید:

$$\color{red}{a_n = (\frac{\bigg(\bigg(\big(\frac{n + 1}{2}\big)^2 + \big(\frac{n + 1}{2}\big)\bigg)+\bigg(\big(\frac{n}{2} + 1\big)^2\bigg)\bigg)+\bigg(\bigg(\big(\frac{n}{2} + 1\big)^2\bigg)-\bigg(\big(\frac{n + 1}{2}\big)^2 + \big(\frac{n + 1}{2}\big)\bigg)\bigg)(-1)^n)}{2}}$$

که البته آن را ساده‌تر هم می‌توانید کنید.