اثبات کنید که اگر یک منحنی روی یک صفحه باشد تاب آن صفر است.

Question

اثبات کنید که اگر یک منحنی روی یک صفحه در فضا باشد تاب آن برابر صفر است.مربوط به بحث ریاضی عمومی دو در درس توابع برداری هست

Comments

@Abolfazlmhz به یک کتاب تنها با اسم نویسنده‌اش ارجاع‌دهی نمی‌کنند! روی صورت نویسنده که کتاب نوشته نشده‌است! کتاب اسم دارد. برای مرجع‌دهی به یک کتاب باید اسم کتاب و اسم نویسنده هر دو با هم بیایند. و گاها باید اشاره کرد که اصل کتاب یا ترجمهٔ آن، کدام انتشارات، ویرایش چندم و حتی برخی وقت‌ها باید به شماره فصل و بخش یا تمرین یا صفحه هم اشاره کرد. بعلاوه پرسش شما مربوط به هندسهٔ اقلیدسی نیست و مربوط به ریاضی عمومی است. برچسب را برایتان تغییر دادم ولی مرجع را باید خودتان اصلاح کنید.

Answer 1

اصلا به تعریفِ تابِ یک منحنی توجه کرده‌اید؟ تاب یک منحنی یک کمیت برای صحبت از تغییر زاویه‌ای-دورانیِ بردارِ binormal -ِ منحنی است. بردارِ binormal ضربِ خارجیِ بردار مماس و بردار عمود بر منحنی بودند. زمانی که منحنی شما در یک صفحه محدود است بردار مماس و بردار عمودش نیز در همان صفحه قرار دارند. پس حاصلظرب خارجی آنها بردار عمود normal -ِ صفحه‌تان می‌شود. اکنون زمانی که روی این منحنی حرکت می‌کنید به نظر شما بردارِ binormal جهتش تغییر می‌کند؟ آیا دورانی دارد؟ پس حتی بدون انجام محاسبه‌ای هم می‌توانید این نتیجه را از تعریف بگیرید. اگر بخواهید محسابه‌ای هم انجام دهید، آنگاه فرمول‌هایی که حتما چند تا از آنها در درس پیش از رسیدن به تمرین داشته‌اید بردارید و نگاه کنید. برای نمونه اگر تاب را با $\tau$ و بردارهای عمود و binormal را به ترتیب با $\vec{n}$ و $\vec{b}$ نمایش دهیم (که بر حسبِ پارامترِ منحنی نیز نوشته‌شده‌اند، پس می‌توان از آنها بر حسب این پارامتر مشتق گرفت) داریم: $$\tau=-\vec{n}\cdot\vec{b'}$$ که منظور از «$\cdot$» ضرب داخلی است. اکنون توجه کنید که چون $\vec{b}$ در حال تغییر زاویه و دارای دوران نیست پس بردارِ $\vec{b'}$ در همان جهت بردار $\vec{b}$ قرار دارد و در نتیجه زاویه‌اش با بردار $\vec{n}$ برابر با ۹۰ درجه است پس ضرب‌داخلی‌شان صفر است.

Answer 2

فرض کنیم $\gamma (s)$ خم موردنظر باشد که در صفحه قرار دارد آن گاه $T(s)= \gamma '(s)$ در همان صفحه قرار دارد پس$N(s)=\frac{1}{ \kappa (s)}\frac{dT}{ds}$ به ازای هر $s$ در همان صفحه قرار دارد. پس $B(s)$ که عمود بر هر دو بردار قبلی است باید ثابت باشد و طبق معادله فرنه $\ \frac{dB}{ds} =- \tau N$ برای هر $s$ نتیجه می شود که $\tau (s)=0$