با چند مکعب با حجم واحد، یک مکعب بزرگتر می سازیم. سپس وجههای مکعب بزرگ را رنگ می کنیم. تعداد مکعب های کوچک با و بدون وجه رنگی را بیابید.

Question

با تعدادی مکعب با حجمِ یک واحد (ابعاد یک واحد، یعنی یال‌ها -همان ضلع‌ها- درازای یک واحد دارند)، یک مکعبِ بزرگتر با ضلع به اندازهٔ $n$ واحد می‌سازیم. سپس سطح مکعبِ بزرگ (وجه‌های آن) را رنگ می‌کنیم.

1. چه تعداد از مکعب‌های کوچک رنگ نمی شوند (یعنی هیچ یک از وجه‌هایشان رنگ نخواهد شد)؟
2. چه تعداد از مکعب‌ها فقط یک وجه‌شان رنگ می‌شود؟ و همین‌طور در مورد تعداد مکعب‌ها با دو وجهِ رنگ‌شده، و تعداد مکعب‌ها با سه وجه رنگ‌شده چه می‌توان گفت؟

Comments

@mahdiahmadileedari
- پس از اتمام نوشتن متن پرسش، یک بار آن را از نو بخوانید.
- خودتان برای حل این پرسش چه اقدامی کرده‌اید؟ معنای متن پرسش را متوجه شده‌اید؟ آیا برای چند مثال آن را امتحان کرده‌اید؟ برای نمونه یک مکعب با ضلع ۲ را با کنار هم گذاشتن مکعب‌های با ضلع ۱ در نظر بگیرید و بررسی کنید.

Answer 1

تمام مکعب های کوچک بیرونی حداقل یک وجه شان رنگی می شود و تمام مکعب های کوچک درونی بدون رنگ خواهند ماند. کافیست تجسم کنیم که یک لایه بیرونی را از مکعب بزرگ حذف کنیم که یک مکعب به ضلع $n-2$ باقی می ماند. که این مکعب از تعداد $(n-2)^3$ مکعب کوچک تشکیل شده است.

مکعب ها با 3 وجه رنگ شده، مکعبهای گوشه ها هستند که تعداد آنها 8 است. مکعب های با دو وجه رنگ شده، یالها رو تشکیل می دهند. که 12 یال داریم و روی هر یال $n-2$ مکعب وجود دارد. مکعب های با یک وجه رنگ شده، مکعب های درونی سطح بیرونی هستند. 6 سطح داریم و در هر سطح $(n-2)^2$ مکعب داریم.