Question

هر یک از اعداد یک تا صد را با یکی از دو رنگ آبی و قرمز رنگ آمیزی می کنیم می دانیم هیچ 7 عدد متوالی آبی رنگ نیستند. حداقل چند عدد را قرمز کرده ایم؟ 17 16 15 14

Answer 1

حداقل ۱۴ عدد را قرمز کرده ایم؛زیرا می دانیم با شرایط گفته شده با ۱۳ عدد قرمز می توان حداکثر می توان ۹۷ عدد را رنگ کرد(۱۳ عدد را قرمز کرده و بین هردو قرمز ۶ آبی بگذاریم و بعد از آخرین قرمز و قبل از اولین قرمز نیز هرکدام ۶ آبی بگذاریم که ۹۷ عدد می شود)و بنابراین چون در سوال 100عدد رنگ شده است و می دانیم با ۱۳ قرمز و تعداد قرمز کمتر نمی شود آن را رنگ کرد و با ۱۴ عدد قرمز می شود این کار را انجام داد(۱۴ قرمز بگذاریم و بین هر دو قرمز ۶ آبی بگذاریم و سپس ۴ آبی قبل اولین قرمز و ۴ آبی بعد آخرین قرمز بگذاریم)بنابراین حداقل ۱۴ عدد قرمز شده است

Answer 2

حالت کلی این مسئله به صورت زیر است:

اعداد یک تا n را با یکی از دو رنگ آبی و قرمز رنگ آمیزی می کنیم می دانیم هیچ m عدد متوالی آبی رنگ نیستند. حداقل چند عدد را قرمز کرده ایم؟( عددهای n و m طبیعی اند)

پس تا آنجا که ممکنه اعداد آبی می کنیم. بهترین حالت این است که 1 آبی کنیم بعد 2 را آبی کنیم تا آنجا ممکنه آبی کردن ادامه می دهیم تا عدد m-1 آبی می کنیم اما عدد m باید قرمز شود این روند ادامه دهیم مضارب m قرمز می شوند و تعداد آنها برابر است با

$$[ \frac{n}{m}] $$

بنابراین در حالت خاص n=100 و m=7 در نتیجه $$ [ \frac{n}{m}] = [ \frac{100}{7} ]=14 $$

• این توضیح بدهم که این 14 عدد به 5 طریق می توان پیدا کرد ساده ترین همون مضارب 7 می باشه. به صورت های زیر می توان 14 عدد برای هر $ i=0,1,2,3,4 $ معرفی کرد

$$7k- i:\quad k=1,2,3,....14 $$