حد انتگرالهای $\int_0^n(1+\frac{x}{n})^ne^{-2x}dx$ و $\int_0^n(1-\frac{x}{n})^ne^{\frac{x}{2}}dx$ را زمانیکه $n$ به بینهایت میل می کند بیابید.

Question

دو انتگرال زیر را در نظر بگیرید. $$\int_{0}^{n}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} e^{-2 x} d x, \int_{0}^{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n} e^{\frac{x}{2}} d x$$ حاصل این دو انتگرال را زمانی که $n$ به سمت بینهایت میل می‌کند بدست‌آورید.

Comments

@Sh1292 اینکه شروع به تایپ ریاضی کرده‌اید مورد تحسین است. ولی عنوانتان نامناسب است. منظور از عنوان پرسش، نام درس یا فصلی از کتاب نیست، می‌توانید پست زیر را در مورد عنوان مناسب نگاه کنید:
https://math.irancircle.com/11973
متن سوالتان را هم یک مقداری بد نوشته‌اید. دقیقا این در جایی از کتاب آمده‌است؟ اگر بلی اشاره کنید کجای کتاب تا مقایسه کنیم. اگر خیر، در اینصورت برای من سوال است که شما حاصل این دو انتگرال را حدس زده‌اید و سپس نشان دادید که حدس‌تان درست است، بعد سوال چیست؟ یا اینکه به جای «به آسانی می‌شود حدود را حدس زد و غیره» می‌خواستید بگوئید «حدود این انتگرال‌ها را بیابید»؟ اینکه $r$ و $t$ برابر با ۲ هستند را پس چرا از اول در فرمول ۲ نگذاشته‌اید؟ چون اگر قرار نیست $r$ و $t$ به چشم پارامتر دیده شوند و مقداری غیر از ۲ اخذ کنند، پس استفاده از نماد برایشان بیهوده است. از همان اول ۲ بگذارید.

---

سلام ممنون واقعا کار سختیه تایپ این سوال کتاب انالیز حقیقی و مختلط رودین هست اینکه من بعدش حدود را گفتم چون بعد از تایپ دیدم حدود اشتباه نوشتم اینکه برنگشتم دوباره ان را درست کنم ببخشید هنوز خوب بلد نیستم این حدود را خودش داده و‌rو t  هم در مسله همان دو هست من بعد تایپ کردم سوال مسئله ، مسله از ما خواسته اول حدس بزنیم و بعد حدسمان را ثابت کنیم .بقیه موارد را داده من در تایپ اشتباه نوشتم ببخشید

Answer 1

کافیه از قضیه همگرایی یکنوا استفاده کنیم. توجه کنید که $$ \lim_{n\to \infty} \int_{0}^{n}\big(1+\frac{x}{n}\big)^{n}e^{-2x}dx= \lim_{n\to \infty} \int_{0}^{\infty}\big(1+\frac{x}{n}\big)^{n}e^{-2x}\chi_{[0,n]}(x) dx $$

دنباله $a_{n}=\big(1+\frac{x}{n}\big)^{n}e^{-2x}\chi_{[0,n]}(x) $ نامنفی و صعودی چرا که بنا به نامساوی واسطه ها $$ \sqrt[n+1]{1\cdot\big(1+\frac{x}{n}\big)^{n} }\le \frac{1+\big(1+\frac{x}{n}\big)+\cdots+\big(1+\frac{x}{n}\big)}{n+1}=\Big(1+\frac{x}{n+1}\Big) $$ بنابراین $a_{n}\le a_{n+1}$. حالا $$ \lim_{n\to \infty}\big(1+\frac{x}{n}\big)^{n}e^{-2x}\chi_{[0,n]}(x)=e^{x}e^{-2x}=e^{-x} $$ پس بنا به قضیه همگرایی یکنوا داریم $$ \lim_{n\to \infty} \int_{0}^{n}\big(1+\frac{x}{n}\big)^{n}e^{-2x}dx= \int _{0}^{\infty} \lim_{n\to \infty}\big(1+\frac{x}{n}\big)^{n}e^{-2x}\chi_{[0,n]}(x)dx= \int _{0}^{\infty}e^{-x}dx=1$$ حالا حد بعدی رو خودتون به همین ترتیب انجام بدید جوابش میشه 2.

Comments

@kazomano البته فکر کنم پرانتز ایکس را در جلوی تابع مشخصه‌ها جاانداخته‌اید (هر چند از متن مشخص است از چه چیزی مشخصهٔ بازهٔ صفر و $n$ می‌گیرید). صرفا برای کاربرانی که ممکن است نمادهای دیگری از تابع مشخصه indicator دیده‌باشند اشاره دارم که برخی از نمادهای $\mathbb{I}$ و برخی از $\mathbb{1}$ (یک خط‌دار، برای دستور TeX آن به این صفحه نگاه کنید https://tex.stackexchange.com/questions/26637) به جای $\chi$ استفاده می‌کنند، من خودم در دستهٔ افرادی هستم که مانند آقای kazomano از $\chi$ در مقاله‌هایم استفاده می‌کنم.

---

ببخشید من سوال میکنم این نامساوی واسطه ها منبعش کجاست من بیشترر بخونم اگه ممکنه راهنمایی کنید اگه لینک بدید که سپاسمندم و سوال دیگه ای که دارم مشکل این انتگرال چیه که ما باید از قضیه همگرایی یکنوایی لبگ استفاده کنیم ممنون میشم جزییات بیشتری در اختیارم قرار بدید .من باید تشریحی ارائه بدم به همین دلیل میپرسم کاش توضیح با فیلم هم میشد دید من خیلی نیاز دارم به جزییات بیشتر ممنون میشم اساتید این جا منو راهنمایی کنند .

---

ببخشید از کجا مشخصه بازه صفر و‌n باید باشه

---

@Sh1292
در اینترنت نامساوی واسطه ها رو جستجو کنید مطالب زیادی رو می بینید. در ویکی پدیا هم می تونید اطلاعات خوبی به دست بیارید . محاسبه انتگرال به صورت مستقیم کار دشواریه. قضیه همگرایی یکنوا اجازه میده که حد رو از انتگرال عبور بدیم و ابتدا حد رو محاسبه کنیم بعد انتگرال. همانطوری هم که دیدید این کار به سادگی انجام شد و این قدرت قضیه رو نشون میده.
در مورد مشخصه چون بازه انتگرال گیری $[0,n]$ بود از $\chi_{[0,n]}$ استفاده شده.

---

ممنون از راهنماییتون استفاده کردم برای نامساوی هم سرچ کردم مطلب خیلی کوتاه بود که توضیح مشخصی نداشتت .متشکرم