پس از سهگوش شما زاویهٔ گوشهٔ $B$ و اندازهٔ دو یال که یکی از آنها روبرویش (مقابلش) و دیگری همسایهاش (مجاورش) است را داریم. شکل زیر که با نرمافزار Mathematica رسمشدهاست را نگاه کنید. بدون کاستن از کلیت گوشهٔ $C$ را با یک جابجایی (انتقال) به مبدأ مختصات و سپس یال $BC$ را بدون کاستن از کلیت با یک دوران روی محور $x$ها آوردهایم. این دو تبدیل هندسی تغییری در درازای یالها و زاویههای گوشهها ایجاد نمیکنند. اکنون برای داشتن سهگوشتان کافیست نقطهٔ $A$ را هم رسم کنیم. نقطهٔ $A$ که مکان هندسی نقطههای برخورد دایره به مرکز $C$ و شعاع $8\sqrt{3}$ و خط گذرنده از نقطهٔ $B$ و شیب $-\tan\frac{\pi}{3}$ است دو حالت ممکن دارد؛ $(0,8\sqrt{3})$ و $(12,-4\sqrt{3})$. اما فقط یکی از این دو حالت پذیرفتنی است زیرا با انتخاب نقطهٔ دوم، زاویهٔ $B$ برابر با ۱۲۰ درجه میشود به جای ۶۰ درجه، پس تنها گزینهٔ ممکن برای نقطهٔ $A$ نفطهٔ $(0,8\sqrt{3}$ است. آشکارا از شکل مشخص است که یک سهگوش راست (قائمالزاویه) دارید. پس $\hat{C}=90^\circ$ و $\hat{A}=30^\circ$.
دستور رسمکردن شکل بالا در نرمافزار Mathematica در زیر آوردهشدهاست.
P1 = Plot[-Tan[Pi/3]*(x - 8), {x, -20, 20}, PlotStyle -> Green];
P2 = ContourPlot[
x^2 + y^2 - (8*Sqrt[3])^2 == 0, {x, -20, 20}, {y, -20, 20}];
P3 = ListPlot[{Labeled[{0, 0}, C], Labeled[{8, 0}, B]},
PlotMarkers -> {Automatic, Scaled[0.03]}, PlotStyle -> Red];
Show[P1, P2, P3, PlotRange -> {{-15, 15}, {-15, 15}},
AspectRatio -> 1]
بدون رسم کردن نیز مختصات نقطهٔ $A$ را میتوانید از حل دستگاه زیر بدست آورید.
$$x^2+y^2=(8\sqrt{3})^2,\quad (y-0)=-\tan(\frac{\pi}{3})(x-8),\quad y>0$$
که با نرمافزار Mathematica به شکل زیر نوشته میشود.
Solve[x^2 + y^2 - 64*3 == 0 && -y - Tan[Pi/3]*(x - 8) == 0 &&
y > 0, {x, y}, Reals]
و در آخر برای یافتن اندازهٔ شعاع دایرهٔ محیطی. توجه کنید که دایرهٔ محیطی دایرهای است که از هر سه گوشهٔ سهگوش میگذرد. پس اگر فرض کنیم مرکز این دایره $(x_O,y_O)$ باشد و اندازهٔ شعاعش $r$ آنگاه باید مختصات هر سه گوشهٔ $A$ و $B$ و $C$ در معادلهٔ $(x-x_O)^2+(y-y_O)^2=r^2$ صدق کنند. یعنی یک دستگاه سه معادله سه مجهول داریم که البته یک نامساوی $r>0$ هم باید به آن اضافه کنیم. با حل این دستگاه هم مختصات مرکز دایرهٔ محیطی و هم اندازهٔ شعاع این دایره را بدست میآوریم. دوباره این کار را با نرمافزار Mathematica انجام دادیم که دستور آن در زیر آوردهشدهاست.
Solve[ReplaceAll[{x -> 0, y -> 0}][f] == 0 &&
ReplaceAll[{x -> 8, y -> 0}][f] == 0 &&
ReplaceAll[{x -> 0, y -> 8*Sqrt[3]}][f] == 0 && r > 0, {xO, yO,
r}, Reals]
مرکز دایره نقطهٔ $(4,4\sqrt{3})$ و اندازهٔ شعاع آن $8$ میشود.
برای اینکه سهگوشِ نهایی و دایرهٔ محیطیاش را ببینید شکل زیر را نگاه کنید.
این شکل نیز با نرمافزار Mathematica کشیده شدهاست که دستور آن را در زیر میبینید.
P4 = ContourPlot[(x - 4)^2 + (y - 4*Sqrt[3])^2 - 8^2 == 0, {x, -5,
15}, {y, -5, 15}];
P5 = ListPlot[{Labeled[{0, 8*Sqrt[3]}, A], Labeled[{0, 0}, C],
Labeled[{8, 0}, B], Labeled[{4, 4*Sqrt[3]}, O]},
PlotMarkers -> {Automatic, Scaled[0.03]}, PlotStyle -> Red];
P6 = ListLinePlot[{{0, 8*Sqrt[3]}, {0, 0}, {8, 0}, {0, 8*Sqrt[3]}},
PlotStyle -> Purple];
Show[P4, P5, P6, AspectRatio -> 1, Axes -> True]
