بینهایت دنباله میتوان یافت که ۷ جملهٔ ابتدایشان یکسان باشند. برای نمونه در زیر یک کُد نوشته شده با نرمافزار Mathematica نوشتهایم که به ازای هر عدد دلخواهی که دوست دارید یک دنباله به شما میدهد که $a_i$ برای $i=1$ تا $i=7$ همان ۷ عددی که شما دادید را تولید میکند ولی برای هشتمین عدد، مقداری که در ابتدا انتخاب کردید را میدهد. چند تا عدد دلخواه وجود دارد؟ مسلما بیشتر از یک عدد در دنیا وجود دارد پس شما با دادن ۷ تا عدد و نگفتن هیچ شرط و فرض و توضیح بیشتری هرگز نمیتوانید یک جواب یکتا پیدا کنید و انتظار خاصی از فردی که سوال را از ایشان میپرسید داشتهباشید که با علم غیب ذهن شما را بخواند و دقیقا همان یک دنباله از بینهایت دنبالهای که شما در ذهنتان به عنوان پاسخ درست گرفتهاید را بدهد.
interpolseq[x_] := (
Return[Expand[InterpolatingPolynomial[{1, 3, 6, 8, 11, 13, 16, x}, n]]]
)
ایدهٔ این کد استفاده از چندجملهایهای درونیاب است که در همین سایت پستهای زیادی پیرامونش وجود دارد و در درس آنالیز عددی ۱ دانشگاه نیز ندریس میشود. برای نمونه اگر عدد هشتم را ۱ انتخاب کنید، این برنامه به شما جملهٔ عمومیِ زیر را میدهد:
$$-\frac{7 n^7}{720}+\frac{53 n^6}{180}-\frac{1319 n^5}{360}+\frac{217 n^4}{9}-\frac{64663
n^3}{720}+\frac{33677 n^2}{180}-\frac{11761 n}{60}+79$$
اگر عدد هشتم را به آن ۱۰۰ بدهید، آنگاه جملهٔ عمومی زیر را به شما میدهد:
$$\frac{5 n^7}{504}-\frac{23 n^6}{90}+\frac{479 n^5}{180}-\frac{259 n^4}{18}+\frac{3107
n^3}{72}-\frac{6377 n^2}{90}+\frac{6371 n}{105}-20$$
خیلی راحت با جایگذاری میتوانید ببینید که برای ۷ مقدارِ نخستشان همان عددهای $1, 3, 6, 8, 11, 13, 16$ را میدهند و عدد هشتمی برای دنبالهٔ نخست برابر با ۱ است در حالیکه برای دنبالهٔ دومی برابر با ۱۰۰ است. حتی بدون نیاز به این همه دردسر، شما میتوانید دنبالههایی که ۷ مقدار نخستشان برابر با ۷ مقدار دادهشده توسط شما است ولی از جملهٔ هشتم به بعد مقدارشان عددی ثابت است را در نظر بگیرید یعنی ضابطهشان اینگونه تعریف میشود:
$$a_n=\left\lbrace\begin{array}{ll}
1 & ;\;n=1\\
3 & ;\;n=2\\
6 & ;\;n=3\\
8 & ;\;n=4\\
11 & ;\;n=5\\
13 & ;\;n=6\\
16 & ;\;n=7\\
x & ;\;n\geq 8
\end{array}\right.$$
پس دنبالهٔ $\lbrace 1,3,6,8,11,13,16,1,1,1,1,\cdots,1,\cdots\rbrace$ هم یک پاسخ ممکن برای پرسش شما است! پس اگر کسی هم در یک امتحان، کتاب یا هر منبع دیگری چنین پرسشی ناقص بگذارد باید انتظار بینهایت جواب درست داشته باشد و هر جوابی که فقط در ۷ جملهٔ نخستش با عددهای دادهشدهاش برابر است را نمرهٔ کامل بدهد.
پرسش شما را به روشهای زیر میتوان کامل کرد.
۱. دنبالهای با کمک حداکثر دو دنبالهٔ حسابی بیابید که ۷ جملهٔ نخستش با ۷ عدد دادهشده در بالا برابر باشد. آنگاه دنبالهای دوضابطهای که برای اندیسهای فرد اعضای دنبالهٔ حسابی با جملهٔ شروع ۱ و قدرنسبت ۵ را چیده است و برای اندیسهای زوج اعضای دنبالهٔ حسابی با جملهٔ شروع ۳ و قدر نسبت ۵ را چیدهاست. ضابطهای که آقای @fardinffa سعی دارند در پاسخشان به شما بگویند. توجه کنید که باید حتما در متن تکمیل شده در این حالت تعداد دنبالههای حسابی را حتما به ۲ تا محدود کنید و گرنه میتوان از ۷ دنبالهٔ حسابی با جملههای شروع این هفت عدد و قدرنسبتهای کاملا دلخواه استفاده کرد که دوباره به ما بینهایت جواب ممکن میدهند.
۲. ضابطهای برای دنبالهٔ عددهایی که رقم یکان آنها عددهای ۱ و ۳ و ۶ و ۸ هستند و با تریتب بزرگتری چیده شدهاند بدهید.
هر دو حالت ۱ و ۲ یک جواب یکتا و برابر دارند که همان دنبالهای است که دو ضابطهٔ آقای @good4us و @fardinffa هم آن را میدهد.
با آمیختن ایدههای مربوط به جزء صحیح (برای نمونه تابعهای دندان ارهای) و همان چندجملهای درونیاب نیز میتوان یک ضابطهٔ غیر چندشرطی نیز برای این دنباله که اکنون خودمان یکتایش کردیم (و گر نه به همان شکلی که شما در پرسش نوشتهاید یکتا نیست) ارائه داد.ایده سادهاست با یک جدول آن را نشان میدهم. باید به نحوی هر ۴ بار یک بار ۱۰ واحد اضافه کنیم و به نحوی چهار بار در میان یکان را بین عددهای ۱ و ۳ و ۶ و ۸ بچرخوانیم. برای دنبالکردن و کنترل اندیسها از جزءصحیح و تفاضل با جزءصحیح استفاده میکنم و برای نسبت دادن عددهای ۱ و ۲ و ۳ و ۴ به ۱ و ۳ و ۶ و ۸ از چندجملهای درونیاب درجهٔ ۳ استفاده میکنم (میتوانید از هر دنبالهای که چهار جملهٔ ابتدایش ۱ و ۳ و ۶ و ۸ هست به جای این چندجملهای درجه سه استفاده کنید).
$$
\begin{array}{l|lllllllll}
n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
\hline
[\frac{n-1}{4}] & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2\\
\hline
x=n-4[\frac{n-1}{4}] & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1\\
\hline
y=-\frac{1}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2-\frac{19}{6}x+2 & 1 & 3 & 6 & 8 & 1 & 3 & 6 & 8 & 1\\
\hline
10[\frac{n-1}{4}]+y & 1 & 3 & 6 & 8 & 11 & 13 & 16 & 18 & 21
\end{array}
$$
پس ضابطهٔ زیر نیز با دو ضابطهای که دوستان دیگر ارائه کردهاند برابر است.
$$a_n=10[\frac{n-1}{4}]-\frac{1}{3}(n-4[\frac{n-1}{4}])^3+\frac{5}{2}(n-4[\frac{n-1}{4}])^2-\frac{19}{6}(n-4[\frac{n-1}{4}])+2$$
که کمی سادهتر شدهاش میشود؛
$$a_n=-\frac{1}{3}(n-4[\frac{n-1}{4}])^3+\frac{5}{2}(n-4[\frac{n-1}{4}])^2-\frac{19}{6}n-\frac{8}{3}[\frac{n-1}{4}]+2$$
