دوبار مشتق میگیریم:
$$
\begin{split}
\frac{d^2}{dx^2}\frac{x+1}{x^2+1} &= \frac{d}{dx}\frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2} \\
&=\frac{(-2x-2)(x^2+1)^2-2(x^2+1)(2x)(-x^2-2x+1)}{(x^2+1)^4} \\
&=\frac{2x^3+6x^2-6x-2}{(x^2+1)^3}\\
&=\frac{2(x-1)(x^2+4x+1)}{(x^2+1)^3}
\end{split}
$$
واضح است که سه نقطه به طول
$x=1$
و
$x=\frac{-4\pm\sqrt{12}}{2}$
نقاط عطف این منحنی هستند. زیرا مشتق دوم در این نقاط تغییر علامت میدهند. حال کافیست عرض این نقاط را بدست بیاورید و بررسی کنید که هر سه نقطه روی یک خط هستند.
