ثابت کنید سه نقطهٔ عطف منحنی $y=\frac{x+1}{x^2+1}$ بر روی یک خط راست قرار دارند.

Question

ثابت کنید منحنی زیر سه نقطه عطف دارد که بر یک خط راست قرار می‌گیرند.

$$y=\frac{x+1}{x^2+1}$$

ویرایشگر: پرسش‌کننده توضیح بیشتری وارد نکرده‌است.

Comments

عذر می خوام اشتباه نوشتم. در واقع عبارت اصلی یه کسره. صورت ایکس بعلاوه یک، مخرج ایکس به توان دو بعلاوه یک
(y=(x+1)/(X^2+1

---

@masiha1412 تصحیح را بر روی متن اصلی پرسش‌تان ویرایش کنید با کلیک بر روی علامت مداد شکل زیر پست‌تان و به جای تایپ کردن ۴۵ نقطه در انتهای پرسش‌تان، به تلاش خودتان یا ابهام و مشکل‌تان اشاره کنید.

---

با سلام تازه راهنمای تایپ ریاضی رو پیدا کردم و از این به بعد درست می نویسم.. ضمنا خیلی جالب و عالی بود که نقطه ها را شمردید. ممنون

---

@masiha1412
اگر سوال شما را با این همه نقطه تایید نمیکردیم، و مدیران زحمت ویرایش را قبول نمی کردند الان همچین حرفی نمی زدید.

---

ناراحت نشوید دوست عزیز.. برایم جالب بود. و ازتون هم ممنونم که ویرایش کردید. بعضی سوالها کوتاهن و هیچ راه دیگه ای برای توضیحش نیست.

Answer 1

دوبار مشتق می‌گیریم: $$ \begin{split} \frac{d^2}{dx^2}\frac{x+1}{x^2+1} &= \frac{d}{dx}\frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2} \\ &=\frac{(-2x-2)(x^2+1)^2-2(x^2+1)(2x)(-x^2-2x+1)}{(x^2+1)^4} \\ &=\frac{2x^3+6x^2-6x-2}{(x^2+1)^3}\\ &=\frac{2(x-1)(x^2+4x+1)}{(x^2+1)^3} \end{split} $$

واضح است که سه نقطه به طول $x=1$ و $x=\frac{-4\pm\sqrt{12}}{2}$ نقاط عطف این منحنی هستند. زیرا مشتق دوم در این نقاط تغییر علامت می‌دهند. حال کافیست عرض این نقاط را بدست بیاورید و بررسی کنید که هر سه نقطه روی یک خط هستند.