اگر یک منحنی در صفحهٔ دوبعدی با یک تابع به شکل $y=f(x)$ داده شده باشد، آنگاه مشتق دوم تابع $f$ به ما چه می دهد؟

Question

فرمول $y=f(x)$ را می‌توان این گونه تعبیر کرد که مجموعه‌ای از نقطه‌های $(x,y)$ که در $y=f(x)$ صدق می‌کند را بیان می‌کند. در این تعبیر تابع $f$ برای هر مقدار ورودیِ $x$ در حال دادنِ پهنای (عرض) نقطه‌ای از منحنی است که درازای (طول) آن برابر با $x$ است. مشتق یکُم (اول) نیز تعبیری مشخص دارد. یعنی برای هر $x$ای که می‌دهیم، $f'(x)$ شیب خط مماس بر منحنی در نقطه‌ای که درازایش $x$ است را به ما می‌دهد. اما مشتق دوم چه داده‌ای به ما در مورد این منحنی می‌دهد؟ همین‌طور مشتق‌های بالاتر.

Comments

@محمد، مشتق دوم میزان فرورفتگی-بیزون‌زدگی (تقعر-تحدب) منحنی‌تان را می‌دهد.

Answer 1

مشتق ابزار مهمیه که به کمک آن می توان به بررسی رفتار یک تابع پرداخت.

با استفاده از مشتق اول میتوان به اطلاعاتی مثل صعودی نزولی بودن تابع پرداخت وبه کمک مشتق دوم می توان جهت تقعر را تشخیص داد. همچنین از مشتق دوم می توان فهمید که نقاط بحرانی مشتق اول ماکزیمم یا مینیمم نسبی هستند یا خیر. شما می تونید قضایایی که تحت عنوان آزمون مشتق اول و دوم در همه کتاب های ریاضی عمومی وجود دارند را مطالعه کنید. حتی در کتاب دیفرانسیل پیش دانشگاهی هم باید این قضایا رو دیده باشید.

به طور کلی مشتق یک تابع $y=f(x)$ میزان تغییرات متغیر $y$ نسبت به $x$ است. پس وقتی از مشتق دوم حرف می زنیم در مورد اینکه مشتق اول با چه آهنگی تغییر می کند حرف میزنیم. و به همین ترتیب منظور از مشتق سوم آهنگ تغییر مشتق دوم است.

حالا اینکه در یک نقطه مشتق چهارم چه چیزی به دست میده من واقعا نمیدونم ولی می دونم که آهنگ تغییر مشتق سوم در اون نقطه رو به من میده که ممکنه در جاهای دیگه مثل فیزیک یا اقتصاد و ... کاربرد داشته باشه. گویا مشتق سوم و چهارم در فیزیک معنای خاصی دارن اینجا رو ببینید: مشتقات مراتب بالاتر

اگر در مورد یک خم $\alpha:(a,b)\to \mathbb R^3$ بحث کنیم در این صورت از مشتق اول برای به دست آوردن سرعت، مشتق دوم برای انحنا و مشتق سوم برای به دست آوردن تاب یا پیچش (میزان تغییر انحنا) استفاده می شود.