اگر $u$ تغییر متغیری از $x$ باشد آنگاه مشتق $f(u)$ چه می شود و چرا؟

Question

فرض کنید $u$ از یک تغییر متغیر از $x$ بدست آمده باشد و $f$ یک تابع باشد، آنگاه مشتق $f(u)$ چه می‌شود؟ اثبات فرمولی که می‌گوئید را نیز بیاورید.

Answer 1

باید از مشتق توابع زنجیزی استفاده کنید. در اینجا $f$ تابعی از $u$ و $u$ هم تابعی از متغیر سوم مثلا $x$ است. در اینصورت مشتق تابع $f$ برحسب $x$ برابر است با $\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\times \frac{du}{dx}$ به عبارت دیگر $(f(u))'=f'(u)\times u'$.

اثباتی از قاعده زنجیری:

قضیه: فرض کنید $g$ در $a$ و $f$ در $g(a)$ مشتق پذیر باشند. در اینصورت $f\circ g$ در $a$ مشتقپذیر بوده و داریم : $(f\circ g)'(a)=f'(g(a))\times g'(a)$

چون $g'(a)=\lim_{x\to a}\frac {g(x)-g(a)}{x-a}$ بنابراین $$g(x)-g(a)=(x-a)(g'(a)+\epsilon(x))$$ که وقتی $x\to a$ داریم $\epsilon(x)\to 0$ و به همین ترتیب برای $f'(g(a))$ داریم: $$f(y)-f(g(a))=(y-g(a))(f'(g(a))+\epsilon '(y))$$ که وقتی $y\to g(a)$ داریم $\epsilon '(y)\to 0$. اما چون $y=g(x)$ پس در رابطه ی اخیر داریم: $$\begin{align}f(g(x))-f(g(a))&=(g(x)-g(a))(f'(g(a))+\epsilon '(g(x)))\\ &=(x-a)(g'(a)+\epsilon(x))(f'(g(a))+\epsilon '(g(x)))\end{align}$$ حال با فرض $x\neq a$ داریم $$\frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}=(g'(a)+\epsilon(x))(f'(g(a))+\epsilon '(g(x)))$$ اگر از طرفین حد بگیریم وقتی $x\to a$ طرف چپ برابر $(f(g(x)))'(a)$ بوده و چون $x\to a$ لذا $\epsilon(x)\to 0$ و از طرفی چون $g$ در $a$ مشتقپذیر است لذا در $a$ پیوسته بوده پس $g(x)\to a$ بنابر این $\epsilon '(g(x))\to 0$ و بنابر این طرف راست برابر $g'(a)f'(g(a))$ است.

Comments

@saderi7
متوجه منظورتون نشدم؟

Answer 2

باتوجه به

$$y=f \big(u\big) \Longrightarrow y' = u' f' \big(u\big) $$

بنابراين

$$ \int_a^x u' f' \big(u\big)=f \big(u\big)+c $$

ميخواهيم تمام فرمول هاي انتگرال هاي مقدماتي را در اينجا ياد آور شويم

كه اين فرمول هارا به سه دسته تقسم مي كنيم.

1-) انتگرال هاي توابع گويا وراديكالي

2-)انتگرال هاي توابع نمايي

3-)انتگرال هاي توابع مثلثاتي

توابع گويا و راديكالي

$$ \int u^{n} . u' dx = \frac{ u^{n+1} }{n+1} +c \Longrightarrow n \neq -1 $$ $$ \int \frac{ u' }{u}dx= ln |u| +c $$ $$ \int \frac{ u' }{ u^{n} }dx= \frac{ u^{-n+1} }{-n+1} +c \Longrightarrow n \neq 1$$ $$ \int \sqrt[n]{ u^{m} } . u' dx= \frac{ u^{ \frac{m}{n}+1 } }{ \frac{m}{n}+1 }+c$$ $$ \int \frac{ u' }{ \sqrt[n]{ u^{m} } }dx= \frac{ u^{ \frac{-m}{n}+1 } }{ \frac{-m}{n}+1 }+c $$

توابع نمايي

$$ \int a^{u} x . u' dx= \frac{ a^{u} }{lna} +c$$ $$ \int e^{u}.u'dx= e^{u} +c $$

توابع مثلثاتي

$$ \int sin \big(u\big) . u'dx=-cos \big(u\big) +c $$ $$ \int cos \big(u\big) . u' dx=sin \big(u\big)+c$$ $$ \int tan \big(u\big) . u' dx=-ln|cos \big(u\big) |+c$$ $$ \int cot \big(u\big) .u' dx=ln|sin \big(u\big) |+c $$ $$ \int (1+ tan^{2} \big(u\big)) .u' dx=tan \big(u\big)+c $$ $$ \int (1+ cot^{2} \big(u\big)).u' dx=-cot \big(u\big)+c $$

Comments

متاسفانه این مطلب شما اسپم محسوب میشه! چون در قسمت پاسخ باید فقط پاسخ به سوال نوشته بشه. در اینصورت سوالات به درستی دسته بندی شده و در آینده افراد میتونن به اینجا رجوع کنن. در ضمن قسمت تانژانت کتانژانت رو یه پرانتز باید بذارید:
$\int (1+\tan^2 u)u'$. و چون انتگرال نامعین است لزومی به نوشتن کران های پایین و بالا ندارد.

---

@fardina
ممنون از دقتتون
من خواستم كران هاي پايين وبالا رو بردارم ولي نمي شد...
به هر حال ويرايشش كردم...