به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
952 بازدید
در دبیرستان توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

ثابت کنید اگر صفحه‌های $p_1,p_2, p_3$، دو به دو متقاطع باشند و $L_1,L_2،L_3$ به ترتیب فصل مشترک صفحات $p_2,p_3 $ و $p_1,p_3$ و $p_1,p_2$ باشند، آنگاه یا $L_1,L_2,L_3$ موازی‌اند یا در یک نقطه مشترک‌اند.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
انتخاب شده توسط Elyas1
 
بهترین پاسخ

نخست یک لم ثابت می‌کنیم.

لم: سه صفحهٔ $P_1$ و $P_2$ و $P_3$ در یک فضای سه‌بعدی در نظر بگیرید. فرض کنید صفحه‌های $P_1$ و $P_2$ در خط $\ell_1$ و صفحه‌های $P_1$ و $P_3$ در خط $\ell_2$ یکدیگر را قطع کرده‌باشند و $\ell_1$ موازی با $\ell_2$ باشد. در این صورت دو صفحهٔ $P_2$ و $P_3$ در صورت تقاطع، در خطی موازی به هر دو خط $\ell_1$ و $\ell_2$ یکدیگر را قطع می‌کنند.

اثبات: بدون کاستن از کلیت با یک جابجایی و چرخش (دوران) می‌توان فرض کرد که $P_1$ صفحهٔ $x\circ y$ است و $\ell_1$ خط $y=z=0$ (یعنی محور $x$ها). در اینصورت خط $\ell_2$ به حتم برابری‌ای (معادله‌ای) به شکلِ $z=0,y=b$ دارد که در آن $b$ یک عدد ثابت است. اگر بردارهای نرمال صفحه‌ها را با $n$ و بردارهای رَه‌نما (هادی) خط‌ها را با $v$ نمایش دهیم، داریم؛

$$n_1=(0,0,1),\;v_1=(1,0,0),\;v_2=(1,0,0)$$

چون بردار $\ell_1$ عضو صفحهٔ $P_2$ است پس $n_2$ باید بر $v_1$ عمود باشد، که می‌توانید به عنوان یک تمرین ساده نشان دهید که این هم‌ارز با این است که باید $n_2=(0,b_2,c_2)$ که در آن $b_2$ $c_2$ دو عدد حقیقی هستند. به روش مشابه چون $\ell_2$ عضو $P_3$ است باید $n_3=(0,b_3,c_3)$. در آخر اگر دو صفحهٔ $P_2$ و $P_3$ برخورد داشته باشند، این برخورد باید خطی باشد با بردارِ رَه‌نمایی که در راستای حاصلضرب خارجی بردار نرمال دو صفحه است. پس؛

$$v_3=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & b_2 & c_2\\ 0 & b_3 & c_3\end{vmatrix}=(b_2c_3-c_2b_3)\vec{i}$$

که موازی به هر دو بردارِ $v_1$ و $v_2$ می‌شود.

اثبات قضیهٔ اصلی: ثابت می‌کنیم که اگر $\ell_1$ و $\ell_2$ و $\ell_3$ موازی نباشند آنگاه همرس هستند (یعنی در یک نقطه هر سه برخورد می‌کنند). در صورت پیروزی، این یعنی تنها دو حالت ممکن است؛ هر سه خط موازی باشند یا هر سه خط همرس باشند.

همان‌گونه که می‌بینید، نمادگذاری‌های من کمی با مال شما فرق دارد به دلیل سلیقه‌ام در شماره‌گذاری خط‌ها نسبت به صفحه‌ها. به لم بالا برای متوجه شدن اینکه کدام خط به کدام صفحه‌ها ربط دارد نگاه کنید. نخست توجه کنید که نمی‌توانیم حالتی داشته باشیم که دو تا از سه خط ما موازی باشند ولی با سومی موازی نباشند و گر نه با لم بالا به تناقض می‌خوریم. پس چون فرض کردیم این سه خط موازی نیستند پس دو به دو هم موازی نیستند.

چون $\ell_1$ و $\ell_2$ موازی نیستند و در یک صفحه یعنی $P_1$ هستند پس باید در نقطه‌ای با هم برخورد داشته‌باشند. این نقطه را $A$ بنامید. به روش مشابه $\ell_1$ و $\ell_3$ در $B$ و $\ell_2$ و $\ell_3$ در $C$ یکدیگر را قطع می‌کنند. اگر هیچ دو تایی از این سه نقطه برابر نباشند آنگاه به یاد آورید که هر سه‌نقطهٔ متمایز در یک فضا، یک صفحهٔ یکتا را مشخص می‌کنند. یک بار توجه کنید که $A,B\in\ell_1\subset P_1$ و $C\in\ell_2\subset P_1$ پس این صفحه باید $P_1$ باشد. بار دیگر این‌گونه نگاه کنید که $A,B\in\ell_1\subset P_2$ و $C\in\ell_3\subset P_2$ پس این صفحه باید برابر $P_2$ باشد! یعنی $P_1=P_2$ که تناقض با فقط اشتراک در یک خط دارد (وقتی دو صفحه منطبق می‌شوند اشترکشان کل‌شان می‌شود، نه فقط یک خط!). پس فرض خلف باطل و از آنجا نتیجه می‌شود که دست‌کم دو تا از این ۳ نقطه باید برابر باشند.

به فرض فقط $A=B$ (برای حالت‌های دیگر به روش مشابه پیش بروید). دو نقطهٔ متمایز یک خط یکتا را مشخص می‌کنند. دو نقطهٔ $A$ و $C$ نباید خطی متفاوت از خطِ دو نقطهٔ $B$ و $C$ بسازند و گر نه تناقض می‌شود با فرضِ $A=B$. اما $A$ و $C$ هم‌اکنون بر روی $\ell_2$ و دو نقطهٔ $B$ و $C$ بر روی خط $\ell_3$ قرار دارند! پس باید $\ell_2=\ell_3$. اما دو خط منطبق، موازی هم هستند که تناقض با اینکه هیچ دو تایی موازی نیستند می‌سازد. پس این فرض هم که تنها یک جفت از ۳ نقطه برابر باشند هم رد می‌شود.

زمانی که هر سه نقطه نتوانند متمایز باشند، و همین‌طور فقط دو تا به تنهایی نتوانند برابر باشند رد شود یعنی چه؟ یعنی هر سه باید یکسان باشند. پس $A=B=C$. این همرس بودن سه خط را هم نتیجه می‌دهد.

توجه کنید که اثبات بالا را می‌توانید کوتاه‌تر هم بکنید. مثلا همین که به برابری دو تا از این نقطه‌ها برسید یک نقطه بر روی سه خط یافته‌اید و الزامی ندارد تا آنجا پیش بروید که هر سه یکی هستند.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...