اگر با هندسهٔ محاسباتی پیش برویم کار ساده است. یک خط (در فضای اقلیدسی از هر بُعدی) با یک نقطه و بردار هادیاش به طور یکتا تعریف میشود. دو خط موازی هستند اگر و تنها اگر بردار هادی یکی مضرب اسکالری از بردار هادی دیگری باشد. اکنون سه خط $\ell_1$ و $\ell_2$ و $\ell_3$ را در نظر بگیرید که خطهای ۱ و ۲ با هم و خطهای ۲ و ۳ با هم موازی هستند. اگر بردار هادی این سه خط را به ترتیب با $v_1$ و $v_2$ و $v_3$ نمایش دهیم آنگاه داریم
$$\left.\begin{array}{l}
\ell_1\parallel\ell_2\Longrightarrow v_1=\lambda_1v_2\\
\ell_2\parallel\ell_3\Longrightarrow v_2=\lambda_2v_3
\end{array}\right\rbrace\Longrightarrow v_1=(\lambda_1\lambda_2)v_3\Longrightarrow\ell_1\parallel\ell_3$$
به یاد آورید که $\parallel$ نمادِ موازیبودن است.
اما به روش هندسهٔ توصیفی که فصلی از هندسهٔ سال سوم دبیرستان بود. صفحهای عمود بر خطِ $\ell_2$ میگذرانیم و آن را $P$ مینامیم. چون $\ell_1\parallel\ell_2$، صفحهٔ $P$ بر $\ell_1$ نیز عمود است. و چون $\ell_2\parallel\ell_3$، صفحهٔ $P$ بر $\ell_3$ نیز عمود است. چون دو خط $\ell_1$ و $\ell_3$ بر یک صفحهٔ مشترک عمود شدند پس با یکدیگر موازی هستند.
این اثبات به برقراریِ دو گزارهٔ زیر نیاز دارد:
- اگر دو خط موازی باشند و صفحهای بر یکی از آن دو خط عمود باشد، بر خط دیگر نیز عمود است.
- اگر دو خط بر یک صفحه عمود باشند، آنگاه با یکدیگر موازی هستند.
برای اینها نیز از قضیهٔ اساسیِ تعامد یا نتیجهای از آن میتوانید استفاده کنید، در حال حاضر دسترسی به کتاب مربوطه ندارم، تا راهنمایی کنم چه میزان را دانسته میتوانید فرض کنید و چه میزانی را باید بین آنها و این دو ایجاد کنید. خودتان تلاش کنید و در صورت عدم موفقیت، تمام تلاشتان را در ادامهٔ متن پرسشتان بیفزائید تا راهنمایی لازم را برایتان انجام دهیم.
