بحث لگاریتم

Question

با سلام سوالم اینه، در معادله زیر که حل کردم چرا با اینکه تمامی مراحل حلم تا رسیدن به جواب $x$ با اینکه درست است و از قوانین صحیح موجود در لگاریتم استفاده کردم به جواب$x=8 $رسیدم در حالی که جواب $x=-8 $هم قابل قبوله اما من با استفاده از قوانین درست لگاریتم تنها به یک جواب برای $x$ دست یافتم مشکل کجاست قوانین لگاریتم یا مورد دیگه چرا این اتفاق رخ داد؟آیا نباید به قوانین درست لگاریتم هم اطمینان کرد؟ممنون میشم توضیحاتی بفرمایید.

$log_ {x^2}^{ \sqrt[3]{4} } = log_{ 5 }^{ \sqrt[9]{5} } \Rightarrow log_ {x^2}^{ 2^{2 \over 3} }= log_{ 5 }^{ 5^{1 \over 9} } \Rightarrow \frac{2 \over 3}{2 \over 1} log_ {x}^{ 2 }= {1 \over 9}log_{ 5}^{ 5 } \ \Rightarrow {1 \over 3} log_ {x}^{ 2 }={1 \over 9} \ \Rightarrow log_ {x}^{ 2 } = \frac{1}{3 } \Rightarrow x^{1 \over 3 } =2 \Rightarrow x=8 $

Comments

توو عکسی که گذاشتید,یک سری از اعداد برای شخص من اصلا خوانا نیستند.
لطف کنید با استفاده از امکانات تایپ,این عبارت رو زیر سوالتون قرار بدین.

---

توی سوالتون اشتباه بود  و من آنرا اصلاح کردم و هم‌چنین به صورت تایپ شده گذاشتم همان طور که خانم رها گفتن عکس اصلا مشخص نبود؛ من درستش کردم ولی خواهشند است از امکانات تایپ استفاده کنید تا دوستان بهتر بتونن کمکتون کنند

با تشکر

---

دانش آموزان مجازند که عکسی از  سوال رو قرار بدن چون هنوز با تایپ لاتک آشنا نشده اند و یراشون سخته که با لاتک بنویسیند.

---

ممنون آقای erfanm حق با شماست من به این نکته توجه نکرده بودم ولی به هر حال سعی کنند تا آنجایی که امکان داره از عکس‌های با فرمت‌های رایج مث .jpg استفاده کنند.

Answer 1

تعریف: وقتی $a$ عدد مثبتی غیر از یک باشد. تابع $y=a^x$ مشتق‌پذیر و یک‌به‌یک است. لذا معکوس مشتقپذیر دارد که ما آن را لگاریتم $x$ در پایه $a$ نامیده و با $log_ {a}^{ x{} } $ نشان می‌دهیم.

در مثال شما هم, پایه $x^2$ است و چون تابع $log_ {x^2}^{ \sqrt[3]{4} } $ برای همه $x$ها به جز $1$ تعریف شده است (زیرا مثبت است) پس زمانی که ما توان $x^2$ را از داخل $log $ بیرون می‌کشیم تابع $\frac{1}{2} log_ {x}^{ \sqrt[3]{4 } }$ حاصل می‌شود باید توجه داشته باشیم که چون برای هر $x$ای از جمله منفی ها تعریف کرده بودیم اینجا مشکل درست می‌کند چون در تابع ساده شده قسمت منفی از دامنه را از دست دادیم و برای جلوگیری از این کار باید بعد از برداشتن توان $2$ به جای $x$ از $|x|$ استفاده کنیم. برای درک بهتر مسئله تابع $f(x)= \sqrt{\sqrt{x^2}}$ برای همه $x$ها تعریف شده است در حالی‌که اگر بخواهیم به روشی که شما در بالا عمل کردید آن‌را ساده کنید به تابع $f(x)= \sqrt{x}$ می‌رسیم که این تابع جدید فقط برای $x$های مثبت تعریف شده است و با این کار قسمتی از دامنه را از دست دادیم پس برای حفظ کل دامنه و در نتیجه کل جواب‌های معادله باید بعد از حذف توان $2$ و در حالت کلی توان‌های زوج از تابع قدر مطلق استفاده کنیم.حال جواب را دوباره حل و باز نویسی می‌کنم:

$log_ {x^2}^{ \sqrt[3]{4} } = log_{ 5 }^{ \sqrt[9]{5} } \Rightarrow log_ {x^2}^{ 2^{2 \over 3} }= log_{ 5 }^{ 5^{1 \over 9} } \Rightarrow \frac{2 \over 3}{2 \over 1} log_ {|x|}^{ 2 }= {1 \over 9}log_{ 5}^{ 5 } \ \Rightarrow {1 \over 3} log_ {|x|}^{ 2 }={1 \over 9} \ \Rightarrow log_ {|x|}^{ 2 } = \frac{1}{3 } \Rightarrow |x|^{1 \over 3 } =2 \Rightarrow |x|=8 $

که نتیجه می‌گیرم $x$ دو مقدار $+8$ و $-8$ را اختیار می‌کند.