تعریف:
وقتی $a$ عدد مثبتی غیر از یک باشد. تابع $y=a^x$ مشتقپذیر و یکبهیک است. لذا معکوس مشتقپذیر دارد که ما آن را لگاریتم $x$ در پایه $a$ نامیده و با $log_ {a}^{ x{} } $ نشان میدهیم.
در مثال شما هم, پایه $x^2$ است و چون تابع $log_ {x^2}^{ \sqrt[3]{4} } $ برای همه $x$ها به جز $1$ تعریف شده است (زیرا مثبت است) پس زمانی که ما توان $x^2$ را از داخل $log $ بیرون میکشیم تابع $\frac{1}{2} log_ {x}^{ \sqrt[3]{4 } }$ حاصل میشود باید توجه داشته باشیم که چون برای هر $x$ای از جمله منفی ها تعریف کرده بودیم اینجا مشکل درست میکند چون در تابع ساده شده قسمت منفی از دامنه را از دست دادیم و برای جلوگیری از این کار باید بعد از برداشتن توان $2$ به جای $x$ از $|x|$ استفاده کنیم. برای درک بهتر مسئله تابع $f(x)= \sqrt{\sqrt{x^2}}$ برای همه $x$ها تعریف شده است در حالیکه اگر بخواهیم به روشی که شما در بالا عمل کردید آنرا ساده کنید به تابع $f(x)= \sqrt{x}$ میرسیم که این تابع جدید فقط برای $x$های مثبت تعریف شده است و با این کار قسمتی از دامنه را از دست دادیم پس برای حفظ کل دامنه و در نتیجه کل جوابهای معادله باید بعد از حذف توان $2$ و در حالت کلی توانهای زوج از تابع قدر مطلق استفاده کنیم.حال جواب را دوباره حل و باز نویسی میکنم:
$log_ {x^2}^{ \sqrt[3]{4} } = log_{ 5 }^{ \sqrt[9]{5} } \Rightarrow log_ {x^2}^{ 2^{2 \over 3} }= log_{ 5 }^{ 5^{1 \over 9} } \Rightarrow \frac{2 \over 3}{2 \over 1} log_ {|x|}^{ 2 }= {1 \over 9}log_{ 5}^{ 5 } \\
\Rightarrow {1 \over 3} log_ {|x|}^{ 2 }={1 \over 9} \ \Rightarrow log_ {|x|}^{ 2 } = \frac{1}{3 } \Rightarrow |x|^{1 \over 3 } =2 \Rightarrow |x|=8 $
که نتیجه میگیرم $x$ دو مقدار $+8$ و $-8$ را اختیار میکند.
