تابع $f$ پیوسته یکنواخت است اگر وتنها اگر
$$ \ \ \forall \epsilon >0 \ \ \ \exists \delta>0\ \ \text{such that} \ \forall x,y\ \ \ \ |x-y|<\delta \Rightarrow \ \ |f(x)-f(y)|<\epsilon $$
بنابراین طبق تعریف فوق نتیجه میشود که یک تابع مانند
$f(x)=\sin (x^2)$
پیوسته یکنواخت نیست اگروتنهااگر
$$\exists \epsilon_0>0\ \ \text{such that}\ \ \forall n\in \mathbb{N},\ \exists x_n,y_n, |x_n-y_n|<\frac{1}{n},|\sin(x^2_n)-\sin(y^2_n)|\geq \epsilon_0 $$
اما داریم:
$$\sin(x^2)-\sin(y^2)=2\sin\frac{x^2-y^2}{2}\cos\frac{x^2+y^2}{2} $$
حال اگر
$\epsilon_0=\frac{\sqrt{2}}{2}$
و
$x_n=\sqrt{4n^2\pi +\frac{\pi}{4} } $
و
$y_n=2n\sqrt{\pi}$
آنگاه
$|x_n-y_n|<\frac{1}{n}$
و
$$|\sin(x_n^2)-\sin(y_n^2)|=2|\sin\frac{x_n^2-y_n^2}{2}||\cos\frac{x_n^2+y_n^2}{2}|=2|\sin\frac{\pi}{8}||\cos(\frac{\pi}{8})|=\frac{\sqrt{2}}{2} $$
