تابع $f$ پیوسته یکنواخت است اگر وتنها اگر
$$ \forall \epsilon >0,\ \ \ \exists \delta>0\ \ \ \text{such that}\ \ \ \forall x,y\ \ |x-y|<\delta \ \ \Rightarrow\ \ |f(x)-f(y)|<\epsilon $$
که برای
$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$
به صورت زیر میشود:
$$ \ \ \forall \epsilon >0,\ \ \ \ \exists \delta>0\ \ \ \text{such that}\ \ \ \forall x,y\ \ |x-y|<\delta \ \Rightarrow \ \ \ |\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+y^2}|<\epsilon
$$
اما داریم:
$$\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+y^2}=\frac{y^2-x^2}{(1+x^2)(1+y^2)}= \frac{(y-x)(y+x)}{(1+x^2)(1+y^2)}$$
حال داریم
$$|y+x|\leq |x|+|y|\leq (1+x^2)(1+y^2) $$
بنابراین کافیست $\delta $ را مساوی$\epsilon $ بگیریم.
دراین صورت
$$|\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+y^2}|= |\frac{(y-x)(y+x)}{(1+x^2)(1+y^2)} |\leq \epsilon $$
