آیا می توان گفت که در معادلهٔ $y= \frac{|x+y|}{2}$، مقدار $x$ با $y$ برابر است؟

Question

سلام به همهٔ دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی

آیا می‌توان گفت که در معادلهٔ $y= \frac{|x+y|}{2}$، مقدار $x$ با $y$ برابر است؟

یعنی مثلاً اگر $x$ را عددی دلخواه قرار دهیم و بعد بر حسب $y$ حل کنیم، $y$، همان عدد به دست می‌آید؟

Answer 1

خیر، مثال نقض: قرار دهید $x=-2$ آنگاه خواهید داشت $y=\frac{2}{3}$.

اکنون بیابیم برابری را حل کنیم. چون $y$ برابر با قدرمطلق چیزی تقسیم بر دو است پس همواره باید $y$ نامنفی باشد و همین‌جا با حدس شما که در خط سوم نوشته‌اید به مشکل برمی‌خوریم. اگر $x$منفی بتواند در برابری‌تان صدق کند آنگاه چگونه انتظار دارید که $y$ با آن برابر باشد؟

اگر $x\geq 0$ آنگاه چون $y$ هم نامنفی است، جمع‌شان نیز نامنفی می‌شود و می‌توانیم قدرمطلق را کنار بگذاریم.

$$y=\frac{x+y}{2}\Longrightarrow\frac{y}{2}=\frac{x}{2}\Longrightarrow y=x$$

اینک قرار دهید $x< 0$. دو حالت داریم، یا $x+y$ نامنفی می‌شود یا منفی. در حالت یکُم، قدرمطلق را برمی‌داریم، در حالت دوم به جای قدرمطلق، یک مفی ضرب می‌کنیم.

$$\left\lbrace\begin{array}{l} y=\frac{x+y}{2}\Longrightarrow y=x\\ y=\frac{-x-y}{2}\Longrightarrow y=\frac{-x}{3} \end{array}\right.$$

اما کدام یک روی می‌دهد؟ در حالت نخست اگر قرار دهیم $x< 0$ و $y=x$ آنگاه $x+y=2x< 0$ در حالیکه به شرط $x+y>0$ این محاسبه انجام شده‌بود! پس خط اول روی نمی‌دهد. در حالت خط دوم $x< 0$ و $y=\frac{-x}{3}$ پس $x+y=\frac{2}{3}x< 0$ و ما هم به شرط $x+y< 0$ این خط را انجام داده‌بودیم که سازگار است. پس در نهایت مجموعه‌پاسخ برابر با مجموعهٔ نقطه‌های روی نمودار تعریف‌شده با نگاشت دوضابطه‌ای زیر است.

$$y=\left\lbrace\begin{array}{l} x\;;\;x\geq 0\\ \frac{-1}{3}x\;;\;x< 0 \end{array}\right.$$

پس تنها برای $x$های نامنفی $y=x$ می‌شود و برای $x$های منفی این اتفاق نمی‌افتد. شکل آن نیز بوسیلهٔ نرم‌افزار Mathematica در زیر با رسم شده‌است (البته از دستور ContourPlot که بدون نیاز به حل معادلهٔ اولیه شکل را رسم می‌کند استفاده کرده‌ایم).

ContourPlot[y-Abs[x+y]/2==0,{x,-5,5},{y,-5,5}]

Comments

@AmirHosein شما معادلهٔ $y= \frac{x+y}{2}$ را برحسب $y$ حل می‌کنید و به$y=2x$ می‌رسید ولی این اشتباه است زیرا وقتی من این معادله را حل می‌کنم به $x=y$ می‌رسم.

Answer 2

دراین تساوی باتوجه به طرف راست $y \geq 0$ است.

اگر $x+y \geq 0$ یا $y \geq -x$ آنگاه $y= \frac{|x+y|}{2}$ نتیجه می دهد $y=x$ باشرط $x \geq 0$ (باتوجه به $y$)

اما اگر $x+y < 0$ یا $y < -x$ آنگاه $y= \frac{-x-y}{2}$ نتیجه می دهد $y= \frac{-x}{3}$ که به این ترتیب $x < 0$بایدباشد (باتوجه به $y$) ولی $y \neq x$