مضربهای ۴ را به ترتیب در دستههایی که تعداد اعضایشان یکی یکی افزایش می یابد میچینییم. جمع اعضای دستهٔ دهم را بیابید.

Question

مضرب‌های عدد ۴ را به صورت زیر دسته‌بندی می‌کنیم:

$$\lbrace 4\rbrace,\lbrace 8,12\rbrace,\lbrace 16,20,24\rbrace,\cdots$$

یعنی اینکه دستهٔ نخست یک عضو، دستهٔ دوم دو عضو، ... و به ترتیب هر دسته یک عضو بیشتر از دستهٔ پیشینش دارد. جمع عددهای دستهٔ دهم چقدر است؟

Comments

@Math_green پست زیر در مورد عنوان مناسب را بخوانید.
https://math.irancircle.com/11973
پرسش شما در مورد دسته‌بندی  مضرب‌های چهار بر حسب یک رَوَند است و نشانه‌ای از آمار در آن دیده نمی‌شود پس برچسب «آمار و احتمال» برایش نامناسب است و عنوان «دسته‌بندی جدول آماری» کاملا بی‌معنا برایش است! اینکه در چه درسی به سوالتان برخورد کرده‌اید ملاک نیست، ملاک خود سوال است. به ویرایشی که برایتان انجام دادم نگاه کنید.
- بعلاوه تلاش خود را همیشه قید کنید. منتظر نمانید تا ازتان بپرسند که آیا خودتان رویش فکر کرده‌اید یا خیر.

Answer 1

در هر دسته به اندازه‌ی شماره‌ی آن دسته، عدد مضرب $4$ وجود دارد. مثلا دسته اول $1$ عدد و دسته دوم $2$ عدد و ... خب پس در دسته دهم $10 $عدد وجود دارد. اولین عدد در دسته دهم، عدد$ 184$ است(چرا؟) و اعداد این دسته تشکیل یک دنباله حسابی با قدر نسبت $4$ می‌دهند. پس مجموع$ 10$ عدد اول این دنباله مد نظر است. از فرمول زیر استفاده می‌کنیم: $$S_n=\frac n2 [2a_1 +(n-1)d] $$ که اگر قرار دهید $n=10$ و $a_1=184 $ و $d=4 $ جواب $2020 $به دست می‌آید.

Answer 2

عضوهای بزرگ دردسته ها $4 \times 1,4 \times 3,4 \times 6,4 \times 10,...$ که عامل غیراز4 اعداد مثلثی هستند پس جمله عمومی آن $ 4 \times \frac{n(n+1)}{2}= 2n^2+2n $ است . و عضوهای کوچک $4 \times 1,4 \times 2,4 \times 4,4 \times 7,...$را می توان با توجه قبلی به صورت $ 4 \times [\frac{n(n+1)}{2}-(n-1)]= 2n^2-2n +4 $ درهر دسته دید.به این ترتیب می توان باتوجه حسابی بودن با فرمول مجموع جملات این دنباله $ s_{n}= \frac{n(a_{1}+ a_{n}) }{2} $ در دسته دهم و جانشینی 10 به جای $n$ به نتیجه رسید.

$ \frac{10[(2 \times 10^2+2 \times 10 +4)+(2 \times 10^2-2 \times 10)}{2}=2020 $