روش کامل حل معادلهٔ $x^2=2^x$

Question

معادلهٔ زیر چگونه حل می‌شود؟

$$ x^{2} = 2^{x} $$

با رسم نمودار معادله می‌توان فهمید که این معادله دقیقاً سه ریشهٔ حقیقی دارد.

ولی من می‌خواهم آن را به‌روش جبری حل کنم. خودم برای حلش تلاش کردم ولی به نتیجه‌ای نرسیدم.

Answer 1

اگر $f(x)=2^x-x^2$، آنگاه $$f'(x)=(\ln 2)2^x-2x \ .$$ وداریم $$f''(x)=(\ln2)^22^x-2$$ حال نکته زیر را داریم:

اگر تابعی مشتق پذیر باشد و مشتق آن، $n$ تا ریشه داشته باشد، خود آن تابع حداکثر $n+1$ ریشه دارد.

باتوجه به اینکه تابع $f''$ دقیقا یک ریشه دارد پس $f'$ حداکثر دوریشه و بنابراین $f$ حداکثر سه ریشه دارد. میتوان با کمک قضیه مقدار بینی نتیجه گرفت $f$ دقیقا سه ریشه دارد. در واقع $$f(0)>0,\ \ \ \ f(-10)<0$$ پس طبق قضیه مقدار بینی، تابع $f$ در بازه $[-10,0]$ دارای ریشه است. از طرفی دوریشه دیگر هم میتوان حدس زد: $2,4$. (البته اگر نتوانستیم حدس بزنیم، وجود این دوریشه را هم باکمک همان قضیه مقدار بینی میتوان نشان داد). اما برای برای بدست آوردن ریشه ای که بین منفی یک وصفر است باید از روشهای تقریب استفاده کرد. مثلا روش نیوتون یا روشهایی که در آنالیز عددی است. (البته با متلب هم میشود)

Comments

@ mdgi پس ریشه 4 چه می شود؟ضمنأتابع مشتق شمادو ریشه دارد

---

@mdgi بعلاوه بر نکته‌ای که آقای @good4us گفتند، خود حل کردن $f'=0$ را نیز باید توضیح بدهید، اگر با رسم شکل آن را انجام می‌دهید که از اول می‌توانستید با رسم شکل برای $f=0$ نیز انجام بدهید و نیاز به مشتق گرفتن نمی‌بود.

---

جواب اصلاح شد باتشکر

---

@mdgiانتخاب شما به جای 10- می تواند 1- باشد

Answer 2

به نام خدا

یافتن اولین ریشۀ معادله:

$$x^2=2^x \Rightarrow \ln(x^2)=\ln(2^x) \Rightarrow 2\ln(x)=x\ln(2) \Rightarrow \frac{\ln(x)}{x}= \frac{\ln(2)}{2} \Rightarrow \boxed{x=2}$$

---

یافتن دومین ریشۀ معادله:

$$x^2=2^x \Rightarrow \ln(x^2)=\ln(2^x) \Rightarrow 2\ln(x)=x\ln(2) \Rightarrow 4\ln(x)=2x\ln(2) \Rightarrow 4\ln(x)=x\ln(4)\Rightarrow \frac{\ln(x)}{x}= \frac{\ln(4)}{4} \Rightarrow \boxed{x=4}$$

---

یافتن سومین ریشۀ معادله:

$$x^2=2^x \Rightarrow x=\pm\sqrt{2^x} \Rightarrow x=-(\sqrt{2})^x \Rightarrow x=-e^{x\cdot\frac{1}{2}\ln(2)} \Rightarrow x\cdot e^{-x\cdot \frac{1}{2}\ln(2)}=-1 \Rightarrow \big(-x\cdot \frac{1}{2}\ln(2)\big)\cdot e^{-x\cdot \frac{1}{2} \ln(2)}= \frac{1}{2}\ln(2) \Rightarrow -x\cdot \frac{1}{2}\ln(2)=\text{W} \big( \frac{1}{2}\ln(2)\big) \Rightarrow \boxed{x=- \frac{2}{\ln(2)}\cdot \text{W}\big( \frac{1}{2}\ln(2)\big)}$$

برای یافتن سومین ریشۀ معادله، از تابع دبلیوی لامبرت (Lambert W function) استفاده شده‌است (تابع دبلیوی لامبرت، وارون تابع $y=xe^x $ است).