اثبات رابطه آيزنشتاين $[nx]=[x]+[x+\frac1n]+[x+\frac 2n]+...+[x+\frac{n-1}n]$

Question

اثبات رابطه ي آيزنشتاين در مبحث جزء صحیح

اگر داشته باشم $x \in \mathbb{R} \ , \ n\in \mathbb{N}$ آنگاه خواهیم داشت.

$$[nx]=[x]+[x+\frac1n]+[x+\frac 2n]+...+[x+\frac{n-1}n]$$

Answer 1

همواره داریم $[x]\leq x< [x]+1$

بنابر این حالت داریم یا $[x]\leq x< [x]+\frac1n$ یا $[x]+\frac1n \leq [x]< [x]+\frac2n$ یا ... یا $[x]+\frac{n-1}n\leq x< [x]+1$

• اگر $[x]\leq x< [x]+\frac1n$ برقرار باشد:

  • داریم $n[x] \leq nx< n[x]+1 $ و بنابر این $[nx]=n[x]\tag{*}$

  • داریم $[x]+\frac1n\leq x+\frac1n< [x]+\frac1n+\frac1n=[x]+\frac2n $ لذا در این حالت داریم $[x+\frac1n]=[x]$

  • داریم $[x]+\frac 2n\leq x+\frac2n< [x]+\frac 3n$ که از این هم نتیجه می شود $[x+\frac 2n]=[x]$. با ادامه همین حالت ها می رسیم به

  • داریم $[x]+\frac{n-1}n\leq x+\frac{n-1}n< [x]+1$ بنابر این $[x+\frac{n-1}n]=[x]$

اگر همه ی موارد بالا را جمع کنیم داریم $ [x]+\underbrace{[x+\frac1n]+[x+\frac 2n]+...+[x+\frac{n-1}n]}_{(n-1)\ times} =n[x]$ و از طرفی بنابر $*$ داشتیم $[nx]=n[x]$ لذا در این حالت ثابت شد $$[nx]=[x]+[x+\frac1n]+[x+\frac 2n]+...+[x+\frac{n-1}n]$$

به طور مشابه برای حالت های $[x]+\frac1n \leq [x]< [x]+\frac2n$ و ... و $[x]+\frac{n-1}n\leq x< [x]+1$ می توانید ثابت کنید.

Comments

چه جوری براکت ایکس به علاوه یک تقسیم بر n شد برابر براکت ایکس؟

---

@fardina ممنون ميشم بگيد كه چرا از اين رابطه $[x] \leq x < [x]+ 1 $ اين رو نتيجه گرفتيد که
$[x] \leq x < [x]+ \frac{1}{n} $ يا $[x]+ \frac{1}{n}  \leq x < [x]+ \frac{2}{n} $ يا $[x]+ \frac{n-1}{n}  \leq x < [x]+ 1 $؟

---

مثلا بازه ی $[0,1)$ را می توان به صورت $[0,\frac 12)\cup [\frac 1n,\frac 2n)\cup...\cup [\frac{n-1}n,1)$ نوشت. پس اگر $x$ به بازه $[0,1)$ متعلق باشد آنگاه باید به یکی از این اجتماع ها متعلق باشد.

Answer 2

و در آخر باید ذکر کنم این اثبات توسط خود من صورت نگرفته است . و متاسفانه هم منبع اثبات رو نمیدونم.