به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+5 امتیاز
92 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط saderi7

چند مثلث وجود دارد كه محيط ان 50 وطول اضلاع اعداد صحيح باشند؟؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط erfanm
 
بهترین پاسخ

فرض $x,y,z\in\mathbb Z$ اضلاع مثلث باشند و $x+y+z=50$ . می دانیم که در هر مثلث باید $$ x+y\geq z\\ x+z\geq y\\ y+z\geq x $$ در اینصورت از $x+y\geq z$ داریم $50=x+y+z\geq z+z=2z$ بنابراین $z\leq 25$ و به طور مشابه داریم $x,y\leq 25$.

در اینصورت با اعمال محدودیت های فوق یعنی $x,y,z\in\mathbb Z, x+y+z=50, 1\leq x,y,z\leq 25$ می توان مثلث های زیر را یافت:

نکته: تعداد جواب های صحیح و نامنفی$x_i\geq 0$ معادله $x_1+x_2+...+x_k=n$ برابر است با ${n+k-1\choose k-1}$ و جواب های صحیح مثبت$x_i\geq 1$ برابر ${n-1\choose k-1}$ است.

اما در مساله ی ما یک شرط اضافی $1\leq x,y,z\leq 25$ هم داریم.

فرض کنید $A_1$ برابر جواب هایی باشد که $x\geq 26$ و $A_2$ جواب هایی که $y\geq 26$ و $A_3$ جواب هایی که $z\geq 26$. ما دنبال پیدا کردن $|\overline{A_1}|\cap |\overline{A_2}|\cap |\overline{A_3}|=|\overline{A_1\cup A_2\cup A_3}|$ هستیم . اگر $S$ برابر جواب های صحیح و نامنفی معادله ی $x+y+z=50$ باشد در اینصورت داریم:

$$|\overline{A_1\cup A_2\cup A_3}|=|S|-(|A_1|+|A_2|+|A_3|-|A_1\cap A_2|-|A_1\cap A_3|-|A_2\cap A_3|+|A_1\cap A_2\cap A_3|) $$

محاسبه $|S|$:برابر است با جواب های صحیح مثبت $x+y+z=50,x,y,z\geq 1$

که بنابر نکته فوق برابر است با ${50-1\choose 3-1}={49\choose 2}$

محاسبه ی $|A_1|$ : برابر است با تعداد جواب های معادله ی

$$x+y+z=50, x\geq 26, y\geq 1, z\geq 1\\ (x-25)+y+z=25 ,(x-25)\geq 1, y\geq 1,z\geq 1$$

که بنابر نکته ی بالا برابر است با: ${25-1\choose 3-1}={24\choose 2}$

و به طور مشابه برای $|A_2|=|A_3|={24\choose 2}$

محاسبه $|A_1\cap A_2|$:

$$x+y+z=50, x\geq 26, y\geq 26, z\geq 1\\ (x-25)+(y-25)+z=0, (x-25)\geq 1, (y-25)\geq 1, z\geq 1$$ اما این مساله جواب غیر منفی ندارد. و به طور مشابه $|A_1\cap A_3|, |A_2\cap A_3|, |A_1\cap A_2\cap A_3|$ برابر صفر هستند. پس جواب سوال برابر است با $$|\overline{A_1\cup A_2\cup A_3}|={49\choose 2}-({24\choose 2}+{24\choose 2}+{24\choose 2}-0-0-0+0)\\ =1176-3\times 276=1176-828=348$$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...