به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
291 بازدید
در دبیرستان توسط

ثابت کنید اگر دو نیمسازداخلی مثلثی برابر باشند ان مثلث متساوی الساقین است

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط erfanm

در شکل زیر با توجه به فرض مسئله داریم $DC=BE $. خط $ FE $ موازی $ BD $ و خط $ DF $ موازی $ BE $ رسم شده است و محل برخورد $ F$ نامیده شده و آن را به $ C $ وصل می کنیم.

enter image description here

چهارضلعی $BDFE$ متوازی الاضلاع است لذا $ DF=BE $و $BD=EF$ و $ \widehat{ABC} = \widehat{DFE} = \beta $ نشان میدهیم $ \alpha = \beta $ است در اینصورت $ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} =2 \alpha $ و حکم ثابت می شود.

فرض کنید چنین نباشد و $ \alpha > \beta $ باشد. دو مثلث $BDC $ و $ BCE $ دارای دو ضلع برابر هستند لذا طبق قضیه لولا ضلع رو به رو به $ \alpha $ یعنی $ BD $ بزرگتر است از ضلع رو به رو به $ \beta $ یعنی $ EC$ اما $BD=EF$ پس $ EF > EC $ لذا در مثلث $ EFC $ داریم $ \phi > \theta $ لذا داریم:

$$ \beta + \theta < \alpha + \phi $$

پس در مثلث $DFC$ ضلع $ DF$ از $DC $ بزرگتر است اما این تناقض است چون $DC=BE $ و $ DF=BE $.

اگر فرض کنیم که $ \alpha < \beta $به طور مشابه به تناقض می رسیم پس باید $ \alpha = \beta $

توسط erfanm
این یک قضیه مشهور در هندسه است به اسم $Steiner-Lehmus$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...