این مساله به مساله مثلث های 20-80-80 مشهور هستند برای این سوال بیش از 12 روش حل مختلف نوشته شده است.
اولا از مجموع زوایا در مثلث $ BNC $ داریم که $ \widehat{BNC} =50$ و این یعنی $BN=BC$
در مثلث $ BNM$ داریم $ \widehat{BNM}=160-x $
حال اگر قضیه سینوسها را برای مثلث $ BNM $ و $BCM $بنویسیم داریم:
$$ \begin{cases} \frac{sin(160-x)}{BM} = \frac{sinx}{BN} \\\frac{sin(80)}{BM} = \frac{sin40}{BC}\end{cases} $$
پس با ترکیب روابط داریم:
$$ sin(160-x)=\frac{sin(80)}{sin40}sin(x)=\frac{2sin(40)cos(40)}{sin40}sin(x)=2cos(40)sin(x)=2cos(60-20)sin(x) = $$
$$2sin(x)( \frac{1}{2}cos(20)+ \frac{ \sqrt{3} }{2}sin(20)) $$
از طرفی داریم:
$$sin(160-x)=sin(180-(x+20))=sin(x+20)=$$
$$sin(20)cos(x)+sin(x)cos(20)$$
با برابر قرار دادن طرفین بعد از ساده کردن داریم:
$$ sin(20)cos(x)= \sqrt{3}sin(x)sin(20) \Rightarrow tan(x)= \frac{1}{ \sqrt{3}} $$
یعنی $$ x=30$$
